放物線 $y = x^2 + ax + b$ が点 $(-3, 4)$ を通るという条件の下で、以下の問いに答える問題です。 (1) $b$ を $a$ を用いて表す。 (2) 放物線が $x$ 軸と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求め、さらにその2点間の距離が2となるような $a$ の値を求める。 (3) $-2 < x < 0$ において、放物線が $x$ 軸と1点のみを共有するような $a$ の条件を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + ax + b$ が点 $(-3, 4)$ を通るという条件の下で、以下の問いに答える問題です。

(1) $b$ を $a$ を用いて表す。

(2) 放物線が $x$ 軸と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求め、さらにその2点間の距離が2となるような $a$ の値を求める。

(3) $-2 < x < 0$ において、放物線が $x$ 軸と1点のみを共有するような $a$ の条件を求める。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y = x^2 + ax + b$ が点 $(-3, 4)$ を通るので、この座標を代入して $b$ を $a$ で表します。

$4 = (-3)^2 + a(-3) + b$

$4 = 9 - 3a + b$

$b = 3a - 5$

(2) 放物線が $x$ 軸と異なる2点で交わる条件は、判別式 $D > 0$ です。

$D = a^2 - 4b > 0$

(1)より、$b = 3a - 5$ なので、

$a^2 - 4(3a - 5) > 0$

$a^2 - 12a + 20 > 0$

$(a - 2)(a - 10) > 0$

よって、$a < 2$ または $a > 10$

$x$軸との交点を求める。

$x^2+ax+3a-5=0$

解を$\alpha, \beta$とすると、解の公式より

$x=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-12a+20}}{2}$

$AB = |\alpha - \beta|=2$より

$|\frac{-a+\sqrt{a^2-12a+20}}{2}-\frac{-a-\sqrt{a^2-12a+20}}{2}|=2$

$\sqrt{a^2-12a+20}=2$

$a^2-12a+20=4$

$a^2-12a+16=0$

$a=6\pm\sqrt{36-16}=6\pm\sqrt{20}=6\pm 2\sqrt{5}$

$a < 2$ または $a > 10$ より、$a=6+2\sqrt{5}$

(3) $-2 < x < 0$ において、放物線が $x$ 軸と1点のみを共有する条件を考える。

$f(x) = x^2 + ax + 3a - 5$

$f(-2)f(0) \le 0$

$f(0) = 3a - 5$

$f(-2) = (-2)^2 + a(-2) + 3a - 5 = 4 - 2a + 3a - 5 = a - 1$

$(a-1)(3a-5)\le0$

$1\le a \le \frac{5}{3}$

ただし、$f(-2)=0$ または $f(0)=0$のとき場合分けを行う.

i) $a=1$のとき, $f(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1)$, よって, $x=-2,1$, $-2<x<0$で$x$軸との共有点を持たないから不適.

ii) $a=\frac{5}{3}$のとき, $f(x)=x^2+\frac{5}{3}x, =x(x+\frac{5}{3})$, よって, $x=0,-\frac{5}{3}$, $-2<x<0$で$x=-\frac{5}{3}$で共有点を持つので, $a=\frac{5}{3}$は適する.

3. 最終的な答え

(1) $b = 3a - 5$

(2) $a < 2$ または $a > 10$, $a = 6 + 2\sqrt{5}$

(3) $1 < a \le \frac{5}{3}$