関数 $f(x) = 2x^2 - 4ax + a + a^2$ について、$0 \le x \le 3$ の範囲における最小値 $m$ が0となるような定数 $a$ の値を全て求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^2 - 4ax + a + a^2$ について、$0 \le x \le 3$ の範囲における最小値 $m$ が0となるような定数 $a$ の値を全て求める。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成する。

\begin{align*}

f(x) &= 2x^2 - 4ax + a + a^2 \\

&= 2(x^2 - 2ax) + a + a^2 \\

&= 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + a + a^2 \\

&= 2(x - a)^2 - 2a^2 + a + a^2 \\

&= 2(x - a)^2 - a^2 + a

\end{align*}

したがって、$f(x) = 2(x - a)^2 - a^2 + a$ となる。

軸は $x = a$ である。

最小値 $m$ が0となる条件を考える。$0 \le x \le 3$ の範囲で最小値が0となるには、以下の3つの場合が考えられる。

(1) 軸 $x=a$ が範囲内にある場合：$0 \le a \le 3$

このとき、最小値は頂点の $y$ 座標であるから、

$m = -a^2 + a = 0$

$a(1 - a) = 0$

$a = 0$ または $a = 1$

これらは $0 \le a \le 3$ の条件を満たす。

(2) 軸 $x=a$ が範囲より左にある場合：$a < 0$

このとき、$x = 0$ で最小値をとる。

$m = f(0) = 2(0)^2 - 4a(0) + a + a^2 = a^2 + a = 0$

$a(a + 1) = 0$

$a = 0$ または $a = -1$

$a < 0$ であるから、$a = -1$。

(3) 軸 $x=a$ が範囲より右にある場合：$a > 3$

このとき、$x = 3$ で最小値をとる。

$m = f(3) = 2(3)^2 - 4a(3) + a + a^2 = 18 - 12a + a + a^2 = a^2 - 11a + 18 = 0$

$(a - 2)(a - 9) = 0$

$a = 2$ または $a = 9$

$a > 3$ であるから、$a = 9$。

よって、$a = 0, 1, -1, 9$

3. 最終的な答え

$a = -1, 0, 1, 9$