次の2次不等式を解く問題です。 (1) $x^2 - 3x + 5 > 0$ (2) $-x^2 + x - 1 \ge 0$ (3) $3x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 \le 0$ (4) $x^2 - 3x + 2 > 2x^2 - x$

1. 問題の内容

次の2次不等式を解く問題です。

(1) $x^2 - 3x + 5 > 0$

(2) $-x^2 + x - 1 \ge 0$

(3) $3x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 \le 0$

(4) $x^2 - 3x + 2 > 2x^2 - x$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 3x + 5 > 0$ について

まず、2次方程式 $x^2 - 3x + 5 = 0$ の判別式 $D$ を計算します。

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$

$D < 0$ であり、$x^2$ の係数 $1 > 0$ なので、すべての実数 $x$ に対して $x^2 - 3x + 5 > 0$ が成り立ちます。

(2) $-x^2 + x - 1 \ge 0$ について

両辺に -1 を掛けて $x^2 - x + 1 \le 0$ とします。

2次方程式 $x^2 - x + 1 = 0$ の判別式 $D$ を計算します。

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

$D < 0$ であり、$x^2$ の係数 $1 > 0$ なので、すべての実数 $x$ に対して $x^2 - x + 1 > 0$ が成り立ちます。

したがって、$x^2 - x + 1 \le 0$ を満たす $x$ は存在しません。

(3) $3x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 \le 0$ について

2次方程式 $3x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$ の判別式 $D$ を計算します。

$D = (-2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 12 - 12 = 0$

2次方程式の解は $x = \frac{2\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$x^2$ の係数 $3 > 0$ なので、$3x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 \le 0$ を満たすのは、$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ のときのみです。

(4) $x^2 - 3x + 2 > 2x^2 - x$ について

$x^2 - 3x + 2 - (2x^2 - x) > 0$

$-x^2 - 2x + 2 > 0$

両辺に -1 を掛けて $x^2 + 2x - 2 < 0$

2次方程式 $x^2 + 2x - 2 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$

したがって、$x^2 + 2x - 2 < 0$ の解は $-1 - \sqrt{3} < x < -1 + \sqrt{3}$ です。

3. 最終的な答え

(1) すべての実数

(2) 解なし

(3) $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(4) $-1 - \sqrt{3} < x < -1 + \sqrt{3}$