定積分 $\int_{0}^{2} |x^2 - 1| dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} |x^2 - 1| dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分区間 $[0, 2]$ において、$|x^2 - 1|$ の絶対値を外すことを考えます。

$x^2 - 1 = 0$ となるのは、$x = \pm 1$ のときです。積分区間は $[0, 2]$ なので、$x = 1$ が重要になります。

積分区間を $0 \le x \le 1$ と $1 \le x \le 2$ に分けて考えます。

- $0 \le x \le 1$ のとき、$x^2 \le 1$ なので、$x^2 - 1 \le 0$ となり、$|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$ です。

- $1 \le x \le 2$ のとき、$x^2 \ge 1$ なので、$x^2 - 1 \ge 0$ となり、$|x^2 - 1| = x^2 - 1$ です。

したがって、積分は次のように分割できます。

$\int_{0}^{2} |x^2 - 1| dx = \int_{0}^{1} (1 - x^2) dx + \int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (1 - x^2) dx = [x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{2}{3}$

$\int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx = [\frac{x^3}{3} - x]_{1}^{2} = (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - 1) = \frac{8}{3} - 2 - \frac{1}{3} + 1 = \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3}$

したがって、

$\int_{0}^{2} |x^2 - 1| dx = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2$

3. 最終的な答え

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