以下の2つの極限値を求める問題です。 1. $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x - 1}$

1. 問題の内容

以下の2つの極限値を求める問題です。

1. $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x - 1}$

2. $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}$

2. 解き方の手順

1. $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x - 1}$ を計算します。

分子を因数分解すると、

$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 2)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 2)$

$x$ に1を代入すると、 $1 + 2 = 3$

2. $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}$ を計算します。

分子と分母に $\sqrt{x + 2} + 2$ をかけます。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x + 2} - 2)(\sqrt{x + 2} + 2)}{(x - 2)(\sqrt{x + 2} + 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{(x + 2) - 4}{(x - 2)(\sqrt{x + 2} + 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{(x - 2)(\sqrt{x + 2} + 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x + 2} + 2}$

$x$ に2を代入すると、 $\frac{1}{\sqrt{2 + 2} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

1. $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x - 1} = 3$

2. $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2} = \frac{1}{4}$