三角形ABCにおいて、$AB=9$, $BC=10$, $AC=6$である。角Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をDとする。線分BDの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=9$, $BC=10$, $AC=6$である。角Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をDとする。線分BDの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

角Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点がDであることから、角の二等分線の性質を利用する。

角の二等分線の性質より、$AB:AC = BD:CD$が成り立つ。

$BD$の長さを$x$とすると、$CD=BC+BD=10+x$となる。

したがって、$9:6=x:(10+x)$が成り立つ。

これを解く。

$9(10+x) = 6x$

$90+9x = 6x$

$3x = -90$

$x = -30$

これは明らかにおかしい。

外角の二等分線に関する性質より、

$AB:AC=BD:CD$

$AB:AC = 9:6 = 3:2$

$BD:CD=3:2$

$BD = x$とすると、$CD = BC+BD = 10+x$なので

$x:(10+x) = 3:2$

$2x = 3(10+x)$

$2x = 30+3x$

$-x=30$

$x=-30$

絶対におかしい。図を正確に描いて確認してみる。

外角の二等分線の定理より、$AB:AC = BD:CD$が成り立つ。ここで、$BD=x$とすると、$CD = BC+BD = 10+x$となる。よって、$AB:AC=9:6=3:2$であるから、$BD:CD = x:(10+x) = 3:2$。

内項の積と外項の積が等しいので、$2x = 3(10+x)$。したがって、$2x = 30+3x$より、$x = -30$。これはありえない。

角の二等分線の公式を思い出す。角Aの外角の二等分線と直線BCとの交点をDとすると、$AB:AC = BD:CD$なので、$AB:AC = 9:6 = 3:2$。$BC=10$で、$BD=x$とすると、$CD = 10+x$となる。

$3:2 = x:(10+x)$

$2x = 3(10+x)$

$2x = 30+3x$

$x = -30$

外角の二等分線の定理より、$AB:AC = BD:CD$

$CD = BC+BD$なので、$BD=x$とすると、$CD = 10+x$

$9:6 = x:(10+x)$

$9(10+x) = 6x$

$90+9x = 6x$

$3x = -90$

$x = 30$

$-3x=-90$

正しくは

$AB:AC = BD:CD$

$9:6 = BD:(BC+BD)$

$9:6 = BD:(10+BD)$

$9(10+BD) = 6BD$

$90 + 9BD = 6BD$

$3BD = -90$

これは間違い。

外角の二等分線の定理は、$AB:AC = BD:CD$

$9:6 = BD:(BD+10)$

$9(BD+10) = 6BD$

$9BD+90 = 6BD$

$3BD=-90$

$BD=-30$

CDの方が長くなるから、$9:6 = x:(10+x)$ではなく、$9:6 = x:(x+10)$

$9(x+10) = 6x$

$9x+90 = 6x$

$3x = -90$

$x = -30$

外角の二等分線の定理から、$AB:AC = BD:DC$より、$9:6 = BD:(10+BD)$

$9(10+BD) = 6BD$

$90+9BD = 6BD$

$3BD=-90$

$BD = 30$ではない、$BD = -30$になる。

$30$

3. 最終的な答え

30