三角形OABにおいて、辺OAの中点をM、辺OBの中点をNとする。線分ANとBMの交点をPとするとき、ベクトルOPをベクトルOAとベクトルOBを用いて表す問題です。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAの中点をM、辺OBの中点をNとする。線分ANとBMの交点をPとするとき、ベクトルOPをベクトルOAとベクトルOBを用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

Pは三角形OABの内部の点であり、ANとBMの交点なので、Pは三角形OABの重心であることがわかります。

重心は、各中線を2:1に内分する点であるため、

$\vec{OP}$は$\vec{OA}$と$\vec{OB}$で表すことができます。

$\vec{OP} = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB} + \frac{1}{3} \vec{OO}$ は明らかな間違いです。

線分ANを2:1に内分する点であるから、

$\vec{OP} = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{ON}$

NはOBの中点なので、$\vec{ON} = \frac{1}{2}\vec{OB}$

したがって、

$\vec{OP} = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \vec{OB}$

$\vec{OP} = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{1}{3} \vec{OB}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{1}{3} \vec{OB}$