二次方程式 $x^2 - 3kx + k + 6 = 0$ の一つの解が、もう一つの解の2倍であるとき、定数 $k$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 - 3kx + k + 6 = 0$ の一つの解が、もう一つの解の2倍であるとき、定数 $k$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

二次方程式の2つの解を $\alpha$ と $2\alpha$ とおきます。

解と係数の関係より、以下の2つの式が成り立ちます。

解の和: $\alpha + 2\alpha = 3k$

解の積: $\alpha \cdot 2\alpha = k + 6$

これらの式を整理すると、

$3\alpha = 3k$ より $\alpha = k$

$2\alpha^2 = k + 6$

$\alpha = k$ を $2\alpha^2 = k + 6$ に代入すると、

$2k^2 = k + 6$

$2k^2 - k - 6 = 0$

$(2k + 3)(k - 2) = 0$

したがって、$k = -\frac{3}{2}$ または $k = 2$ となります。

3. 最終的な答え

$k = -\frac{3}{2}, 2$