与えられた2次不等式と連立不等式を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次不等式と連立不等式を解く問題です。

2. 解き方の手順

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1. 2次不等式を解く**

* **(1) $(x-5)(x+1)>0$**

$x-5=0$ と $x+1=0$ より、$x=5$ と $x=-1$ が解となる。

数直線を考えると、$x<-1$ または $x>5$ が解。

* **(2) $(x-2)^2 > 0$**

$(x-2)^2 = 0$ となるのは $x=2$ のとき。

$x=2$ 以外のすべての実数で $(x-2)^2 > 0$ となる。

よって、$x \ne 2$ が解。

* **(3) $4x^2-4x+1 < 0$**

$4x^2-4x+1 = (2x-1)^2$ であるから、$(2x-1)^2 < 0$ を解く。

しかし、$(2x-1)^2$ は常に0以上であるから、この不等式を満たす $x$ は存在しない。

よって、解なし。

* **(4) $x^2-6x+9 \le 0$**

$x^2-6x+9 = (x-3)^2$ であるから、$(x-3)^2 \le 0$ を解く。

$(x-3)^2$ は常に0以上であるから、$(x-3)^2 = 0$ のときのみ不等式を満たす。

$(x-3)^2 = 0$ となるのは $x=3$ のとき。

よって、$x=3$ が解。

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2. 連立不等式を解く**

* **(1) $\begin{cases} 3x-7 > x-1 \\ x^2+x-2 > 0 \end{cases}$**

* $3x-7 > x-1$ より、$2x > 6$。よって、$x > 3$。

* $x^2+x-2 > 0$ より、$(x+2)(x-1) > 0$。

$x+2=0$ と $x-1=0$ より、$x=-2$ と $x=1$ が解となる。

数直線を考えると、$x < -2$ または $x > 1$ が解。

* $x > 3$ と $x < -2$ または $x > 1$ の共通範囲を求める。

共通範囲は、$x > 3$。

* **(2) $\begin{cases} 2(x+1) < x+3 \\ x^2-2x-3 < 0 \end{cases}$**

* $2(x+1) < x+3$ より、$2x+2 < x+3$。よって、$x < 1$。

* $x^2-2x-3 < 0$ より、$(x-3)(x+1) < 0$。

$x-3=0$ と $x+1=0$ より、$x=3$ と $x=-1$ が解となる。

数直線を考えると、$-1 < x < 3$ が解。

* $x < 1$ と $-1 < x < 3$ の共通範囲を求める。

共通範囲は、$-1 < x < 1$。

3. 最終的な答え

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1. 2次不等式**

(1) $x<-1, x>5$

(2) $x \ne 2$

(3) 解なし

(4) $x=3$

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2. 連立不等式**

(1) $x>3$

(2) $-1<x<1$