円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=2, BC=$2\sqrt{2}$, CD=2, DA=$4\sqrt{2}$であるとき、対角線BDの長さと四角形ABCDの面積Sを求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=2, BC=$2\sqrt{2}$, CD=2, DA=$4\sqrt{2}$であるとき、対角線BDの長さと四角形ABCDの面積Sを求める。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて、$\angle B$と$\angle D$についての方程式を立てる。円に内接する四角形なので、$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$。

$\angle B = \theta$とすると、$\angle D = 180^{\circ} - \theta$となる。$\cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos\theta$を利用する。

三角形ABDにおいて余弦定理より、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2(AB)(AD)\cos D = 2^2 + (4\sqrt{2})^2 - 2(2)(4\sqrt{2})\cos(180^\circ-\theta) = 4+32+16\sqrt{2}\cos \theta=36+16\sqrt{2}\cos \theta$

三角形BCDにおいて余弦定理より、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2(BC)(CD)\cos B = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2(2\sqrt{2})(2)\cos \theta = 8+4-8\sqrt{2}\cos \theta=12-8\sqrt{2}\cos \theta$

したがって、

$36+16\sqrt{2}\cos \theta = 12-8\sqrt{2}\cos \theta$

$24 = -24\sqrt{2}\cos \theta$

$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta = 135^{\circ}$

$BD^2 = 12 - 8\sqrt{2}(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = 12 + 8 = 20$

$BD = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

次に、四角形ABCDの面積を求める。

$S = \triangle ABD + \triangle BCD$

$S = \frac{1}{2} (AB)(AD)\sin D + \frac{1}{2} (BC)(CD)\sin B = \frac{1}{2}(2)(4\sqrt{2})\sin(45^{\circ}) + \frac{1}{2}(2\sqrt{2})(2)\sin(135^{\circ}) = 4\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 2\sqrt{2}( \frac{1}{\sqrt{2}})=4+2 = 6$

3. 最終的な答え

対角線BDの長さは、$2\sqrt{5}$。

四角形ABCDの面積Sは、6。