4つの多項式の積 $(x+2)(x+3)(x-2)(x-3)$ を、2つずつの積に分ける方法が2通りある。①と②の手順に従って計算する。

1. 問題の内容

4つの多項式の積 $(x+2)(x+3)(x-2)(x-3)$ を、2つずつの積に分ける方法が2通りある。①と②の手順に従って計算する。

2. 解き方の手順

① $(x+2)(x+3)(x-2)(x-3)$ を $\{(x+2)(x+3)\}\{(x-2)(x-3)\}$ として計算する。

まず、$(x+2)(x+3)$ を展開する。

$(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$

次に、$(x-2)(x-3)$ を展開する。

$(x-2)(x-3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$

したがって、$\{(x+2)(x+3)\}\{(x-2)(x-3)\} = (x^2 + 5x + 6)(x^2 - 5x + 6)$ となる。

ここで、$x^2+6 = A$ とおくと、$(x^2 + 5x + 6)(x^2 - 5x + 6) = (A+5x)(A-5x)$ となる。

$(A+5x)(A-5x) = A^2 - (5x)^2 = A^2 - 25x^2$

$A = x^2+6$ を代入すると、

$(x^2+6)^2 - 25x^2 = (x^4 + 12x^2 + 36) - 25x^2 = x^4 - 13x^2 + 36$

② $(x+2)(x+3)(x-2)(x-3)$ を $\{(x+2)(x-3)\}\{(x+3)(x-2)\}$ として計算する。

まず、$(x+2)(x-3)$ を展開する。

$(x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$

次に、$(x+3)(x-2)$ を展開する。

$(x+3)(x-2) = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6$

したがって、$\{(x+2)(x-3)\}\{(x+3)(x-2)\} = (x^2 - x - 6)(x^2 + x - 6)$ となる。

ここで、$x^2-6 = B$ とおくと、$(x^2 - x - 6)(x^2 + x - 6) = (B-x)(B+x)$ となる。

$(B-x)(B+x) = B^2 - x^2$

$B = x^2-6$ を代入すると、

$(x^2-6)^2 - x^2 = (x^4 - 12x^2 + 36) - x^2 = x^4 - 13x^2 + 36$

3. 最終的な答え

どちらの方法でも $x^4 - 13x^2 + 36$ となる。