2点 $A(-3, 2)$ と $B(1, 6)$ を直径の両端とする円の中心 $C$ の座標、半径 $r$、および円の方程式を求める。

1. 問題の内容

2点 $A(-3, 2)$ と $B(1, 6)$ を直径の両端とする円の中心 $C$ の座標、半径 $r$、および円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

* 円の中心 $C$ は、線分 $AB$ の中点である。中点の座標は、各座標の平均で求められる。

$C = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right)$

* $C$ の座標を求める。

$C = \left( \frac{-3 + 1}{2}, \frac{2 + 6}{2} \right)$

$C = \left( \frac{-2}{2}, \frac{8}{2} \right)$

$C = (-1, 4)$

* 半径 $r$ は、中心 $C$ から点 $A$ または点 $B$ までの距離である。ここでは、点 $A$ までの距離を計算する。距離の公式は、

$r = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2}$

* 半径 $r$ を求める。

$r = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (2 - 4)^2}$

$r = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2}$

$r = \sqrt{4 + 4}$

$r = \sqrt{8}$

$r = 2\sqrt{2}$

* 円の方程式は、中心 $(h, k)$、半径 $r$ を用いて、

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

* 円の方程式を求める。中心は $(-1, 4)$、半径は $2\sqrt{2}$ なので、

$(x - (-1))^2 + (y - 4)^2 = (2\sqrt{2})^2$

$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 8$

3. 最終的な答え

中心 $C$: $(-1, 4)$

半径 $r$: $2\sqrt{2}$

円の方程式: $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 8$