座標平面上に2つの直線 $l_1: 3x+2y-39=0$ と $l_2: kx-y-5k+12=0$ がある。 (1) $l_1$ と $x$ 軸の交点の座標、および $l_2$ が $k$ の値に関わらず通る点の座標を求める。 (2) $l_1$, $l_2$, および $x$ 軸によって囲まれた三角形ができないような $k$ の値を求める。 (3) $l_1$, $l_2$, および $x$ 軸によって囲まれた三角形ができるとき、その三角形の周および内部からなる領域を $D$ とする。また、正の実数 $r$ に対して、不等式 $x^2+y^2 \le r^2$ の表す領域を $E$ とする。 $l_2$ が点 $(-13, 0)$ を通る場合の $k$ の値を求める。さらに、$D$ が $E$ に含まれるような $r$ の値の範囲を求める。次に、$r=$ シス の場合を考え、$D$ が $E$ に含まれるような $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に2つの直線 $l_1: 3x+2y-39=0$ と $l_2: kx-y-5k+12=0$ がある。

(1) $l_1$ と $x$ 軸の交点の座標、および $l_2$ が $k$ の値に関わらず通る点の座標を求める。

(2) $l_1$, $l_2$, および $x$ 軸によって囲まれた三角形ができないような $k$ の値を求める。

(3) $l_1$, $l_2$, および $x$ 軸によって囲まれた三角形ができるとき、その三角形の周および内部からなる領域を $D$ とする。また、正の実数 $r$ に対して、不等式 $x^2+y^2 \le r^2$ の表す領域を $E$ とする。

$l_2$ が点 $(-13, 0)$ を通る場合の $k$ の値を求める。さらに、$D$ が $E$ に含まれるような $r$ の値の範囲を求める。次に、$r=$ シス の場合を考え、$D$ が $E$ に含まれるような $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $l_1: 3x+2y-39=0$ と $x$ 軸 $(y=0)$ の交点を求める。$3x+2(0)-39=0$ より $3x=39$, $x=13$。よって、交点は $(13, 0)$。

$l_2: kx-y-5k+12=0$ を $k$ について整理すると、 $k(x-5)-y+12=0$。これが $k$ の値に関わらず成り立つためには、$x-5=0$ かつ $-y+12=0$ である必要がある。したがって、$x=5$, $y=12$。よって、$l_2$ は点 $(5, 12)$ を通る。$l_1$ が点 $(5, 12)$ を通るか確認する。$3(5)+2(12)-39=15+24-39=0$。よって、$l_1$ も点 $(5, 12)$ を通る。

(2) $l_1: 3x+2y-39=0$ と $l_2: kx-y-5k+12=0$ が平行であるとき、三角形ができない。$l_1$ の傾きは $-\frac{3}{2}$ であり、$l_2$ の傾きは $k$ である。したがって、$k=-\frac{3}{2}$ のとき、$l_1$ と $l_2$ は平行である。

また、$l_1$ と $l_2$ が一致するとき、三角形ができない。$l_2$ を $y=kx-5k+12$ と変形し、$l_1$ を $y=-\frac{3}{2}x+\frac{39}{2}$ と変形する。一致するためには $k=-\frac{3}{2}$ かつ $-5k+12=\frac{39}{2}$。しかし、$k=-\frac{3}{2}$ のとき $-5k+12 = \frac{15}{2} + 12 = \frac{39}{2}$となるので一致する。

$l_2$がx軸と平行になるとき、三角形ができない。このとき、$k=0$となる。

$l_1$, $l_2$ の交点が $x$ 軸上にあるとき、三角形ができない。$l_1$ と $x$ 軸の交点は $(13, 0)$ である。$l_2$ が $(13, 0)$ を通るとき、$13k-0-5k+12=0$ より $8k+12=0$, $k=-\frac{3}{2}$。

$k=0$のとき$l_2$は$y=12$となり、x軸に平行である。

$k = -3/2$のとき$l_1$と$l_2$は平行となる。

したがって三角形ができないようなkの値は$-\frac{3}{2}, 0$

(3) $l_2$ が点 $(-13, 0)$ を通る場合、$k(-13)-0-5k+12=0$ より $-18k+12=0$, $k=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$。

$k = \frac{2}{3}$ のとき、$l_2$ は $\frac{2}{3}x - y - 5(\frac{2}{3}) + 12 = 0$, $2x-3y-10+36=0$, $2x-3y+26=0$。$D$ が $E$ に含まれるためには、$l_1$ と $l_2$ と $x$軸との交点および二直線の交点が $x^2+y^2 \le r^2$ を満たす必要がある。

$l_1$ と $x$ 軸の交点は $(13, 0)$。$l_2$ と $x$ 軸の交点は $2x+26=0$ より $x=-13$。交点は $(-13, 0)$。$l_1$ と $l_2$ の交点は $(5, 12)$。原点からの距離はそれぞれ $\sqrt{13^2+0^2}=13$, $\sqrt{(-13)^2+0^2}=13$, $\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=13$。

したがって、$r \ge 13$ である必要がある。

次に、$r=13$ の場合を考える。$l_1: 3x+2y-39=0$、$l_2: kx-y-5k+12=0$、$x^2+y^2 \le 13^2=169$。

$l_1$ と $l_2$ が $x^2+y^2 = 169$ 上で交わる場合を考える。

$l_1$ と $x$ 軸との交点は (13, 0)。$l_2$ と $x$ 軸との交点は $(\frac{5k-12}{k}, 0)$。このとき、$|\frac{5k-12}{k}| \le 13$ が必要。$-13 \le \frac{5k-12}{k} \le 13$

$k>0$のとき$-13k \le 5k-12 \le 13k$。 $12 \le 18k, 12 \ge -8k$。$k \ge \frac{2}{3}, k \le \frac{3}{2}$。つまり、$2/3 \le k \le 3/2$

$k<0$のとき $-13k \ge 5k-12 \ge 13k$。 $12 \ge 18k, 12 \le -8k$。$k \le \frac{2}{3}, k \ge -\frac{3}{2}$。つまり、$-3/2 \le k \le 2/3$

r=13のとき、k >= 2/3またはk < -3/2

3. 最終的な答え

(1) アイ: 13, ウ: 5, エオ: 12

(2) カ: -3, キク: 0, ケ: 2

(3) コ: 2, サ: 3, シス: 13, セ: 2, ソ: 3, タチ: -3, ツ: 2