与えられた2つのベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ に対して、内積 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$、ベクトルの大きさ $|\mathbf{a}|$, $|\mathbf{b}|$、$\cos \theta$、および $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ を二辺とする平行四辺形の面積 $S$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた2つのベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ に対して、内積 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$、ベクトルの大きさ $|\mathbf{a}|$, $|\mathbf{b}|$、$\cos \theta$、および $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ を二辺とする平行四辺形の面積 $S$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、内積、ベクトルの大きさ、$\cos \theta$、そして平行四辺形の面積の計算方法を確認する。

* 内積: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$

* ベクトルの大きさ: $|\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}$

* $\cos \theta$: $\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}$

* 平行四辺形の面積: $S = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \theta = \sqrt{|\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2}$ または $S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|$

次に、各問題について、これらの値を計算する。

(1) $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

* $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2)(3) + (-1)(2) = 6 - 2 = 4$

* $|\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

* $|\mathbf{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

* $\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{5} \sqrt{13}} = \frac{4}{\sqrt{65}}$

* $S = \sqrt{(\sqrt{5})^2 (\sqrt{13})^2 - 4^2} = \sqrt{5 \cdot 13 - 16} = \sqrt{65 - 16} = \sqrt{49} = 7$

(2) $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}, \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

* $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-2)(3) + (4)(1) = -6 + 4 = -2$

* $|\mathbf{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

* $|\mathbf{b}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

* $\cos \theta = \frac{-2}{2\sqrt{5} \sqrt{10}} = \frac{-1}{\sqrt{50}} = \frac{-1}{5\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{10}$

* $S = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 (\sqrt{10})^2 - (-2)^2} = \sqrt{20 \cdot 10 - 4} = \sqrt{200 - 4} = \sqrt{196} = 14$

(3) $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}, \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}$

* $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-3)(2) + (1)(-4) + (4)(3) = -6 - 4 + 12 = 2$

* $|\mathbf{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26}$

* $|\mathbf{b}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}$

* $\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{26} \sqrt{29}} = \frac{2}{\sqrt{754}}$

* $S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|$ を使う。

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} (1)(3) - (4)(-4) \\ (4)(2) - (-3)(3) \\ (-3)(-4) - (1)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 16 \\ 8 + 9 \\ 12 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 \\ 17 \\ 10 \end{pmatrix}$

$S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{19^2 + 17^2 + 10^2} = \sqrt{361 + 289 + 100} = \sqrt{750} = 5\sqrt{30}$

(4) $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3\sqrt{2} \\ 4 \end{pmatrix}, \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

* $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-1)(2\sqrt{2}) + (3\sqrt{2})(1) + (4)(0) = -2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}$

* $|\mathbf{a}| = \sqrt{(-1)^2 + (3\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 18 + 16} = \sqrt{35}$

* $|\mathbf{b}| = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{8 + 1 + 0} = \sqrt{9} = 3$

* $\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{35} \cdot 3} = \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{35}} = \frac{\sqrt{70}}{105}$

* $S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|$ を使う。

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} (3\sqrt{2})(0) - (4)(1) \\ (4)(2\sqrt{2}) - (-1)(0) \\ (-1)(1) - (3\sqrt{2})(2\sqrt{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - 4 \\ 8\sqrt{2} - 0 \\ -1 - 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8\sqrt{2} \\ -13 \end{pmatrix}$

$S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{(-4)^2 + (8\sqrt{2})^2 + (-13)^2} = \sqrt{16 + 128 + 169} = \sqrt{313}$

3. 最終的な答え

(1) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 4, |\mathbf{a}| = \sqrt{5}, |\mathbf{b}| = \sqrt{13}, \cos \theta = \frac{4}{\sqrt{65}}, S = 7$

(2) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -2, |\mathbf{a}| = 2\sqrt{5}, |\mathbf{b}| = \sqrt{10}, \cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{10}, S = 14$

(3) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2, |\mathbf{a}| = \sqrt{26}, |\mathbf{b}| = \sqrt{29}, \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{754}}, S = 5\sqrt{30}$

(4) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sqrt{2}, |\mathbf{a}| = \sqrt{35}, |\mathbf{b}| = 3, \cos \theta = \frac{\sqrt{70}}{105}, S = \sqrt{313}$