与えられた連分数の値を求めなさい。連分数は以下の通りです。 $\frac{-1}{x+2} + \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x+4} + \frac{-1}{x+5} = 0$

1. 問題の内容

与えられた連分数の値を求めなさい。連分数は以下の通りです。

$\frac{-1}{x+2} + \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x+4} + \frac{-1}{x+5} = 0$

2. 解き方の手順

連分数を整理して、$x$ について解きます。

まず、与えられた式を書き換えます。

$-\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x+4} - \frac{1}{x+5} = 0$

項を並び替えます。

$(\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+2}) + (\frac{1}{x+4} - \frac{1}{x+5}) = 0$

それぞれの括弧の中を通分します。

$\frac{(x+2) - (x+3)}{(x+3)(x+2)} + \frac{(x+5) - (x+4)}{(x+4)(x+5)} = 0$

$\frac{x+2-x-3}{(x+3)(x+2)} + \frac{x+5-x-4}{(x+4)(x+5)} = 0$

$\frac{-1}{(x+3)(x+2)} + \frac{1}{(x+4)(x+5)} = 0$

$\frac{1}{(x+4)(x+5)} = \frac{1}{(x+3)(x+2)}$

$(x+4)(x+5) = (x+3)(x+2)$

$x^2 + 9x + 20 = x^2 + 5x + 6$

$x^2 + 9x + 20 - (x^2 + 5x + 6) = 0$

$x^2 + 9x + 20 - x^2 - 5x - 6 = 0$

$4x + 14 = 0$

$4x = -14$

$x = -\frac{14}{4}$

$x = -\frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

$x = -\frac{7}{2}$