xy平面上に3点A(1,0), P(p, 0), Q(p,logp)がある。ただし、$p>1$とする。 (1) 直線AQの方程式を求めよ。 (2) 関数$y=logx$の第2次導関数$y''$を求め、曲線$y=logx$が上に凸であることを示せ。 (3) 曲線$y=logx$と直線AQで囲まれた図形の面積$S(p)$を求めよ。 (4) $\triangle APQ$の面積を$T(p)$とするとき、極限値$\lim_{p \to \infty} \frac{S(p)}{T(p)}$を求めよ。

1. 問題の内容

xy平面上に3点A(1,0), P(p, 0), Q(p,logp)がある。ただし、$p>1$とする。

(1) 直線AQの方程式を求めよ。

(2) 関数$y=logx$の第2次導関数$y''$を求め、曲線$y=logx$が上に凸であることを示せ。

(3) 曲線$y=logx$と直線AQで囲まれた図形の面積$S(p)$を求めよ。

(4) $\triangle APQ$の面積を$T(p)$とするとき、極限値$\lim_{p \to \infty} \frac{S(p)}{T(p)}$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線AQの方程式を求める。

点A(1,0)と点Q(p,logp)を通る直線の傾きは、

$\frac{logp - 0}{p-1} = \frac{logp}{p-1}$

よって、直線AQの方程式は、

$y - 0 = \frac{logp}{p-1}(x - 1)$

$y = \frac{logp}{p-1}(x - 1)$

(2) 関数$y=logx$の第2次導関数$y''$を求める。

$y = logx$

$y' = \frac{1}{x}$

$y'' = -\frac{1}{x^2}$

$x>0$なので、$y'' < 0$となり、曲線$y=logx$は上に凸である。

(3) 曲線$y=logx$と直線AQで囲まれた図形の面積$S(p)$を求める。

$S(p) = \int_1^p \left\{ \frac{logp}{p-1}(x - 1) - logx \right\} dx$

$S(p) = \frac{logp}{p-1} \int_1^p (x - 1) dx - \int_1^p logx dx$

$S(p) = \frac{logp}{p-1} \left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_1^p - \left[ xlogx - x \right]_1^p$

$S(p) = \frac{logp}{p-1} \left( \frac{p^2}{2} - p - \frac{1}{2} + 1 \right) - (plogp - p - (1 \cdot log1 - 1))$

$S(p) = \frac{logp}{p-1} \left( \frac{p^2 - 2p + 1}{2} \right) - plogp + p - 1$

$S(p) = \frac{(p-1)^2}{2(p-1)}logp - plogp + p - 1$

$S(p) = \frac{p-1}{2}logp - plogp + p - 1$

$S(p) = (\frac{p-1}{2} - p) logp + p - 1$

$S(p) = \frac{-p-1}{2} logp + p - 1$

(4) $\triangle APQ$の面積を$T(p)$とするとき、極限値$\lim_{p \to \infty} \frac{S(p)}{T(p)}$を求める。

$T(p) = \frac{1}{2} \cdot (p-1) \cdot logp$

$\lim_{p \to \infty} \frac{S(p)}{T(p)} = \lim_{p \to \infty} \frac{\frac{-p-1}{2} logp + p - 1}{\frac{1}{2} (p-1) logp}$

$\lim_{p \to \infty} \frac{\frac{-p-1}{2} logp + p - 1}{\frac{1}{2} (p-1) logp} = \lim_{p \to \infty} \frac{\frac{-p-1}{2} logp}{\frac{1}{2} (p-1) logp} + \lim_{p \to \infty} \frac{p-1}{\frac{1}{2} (p-1) logp}$

$\lim_{p \to \infty} \frac{-p-1}{p-1} + \lim_{p \to \infty} \frac{2}{logp}$

$\lim_{p \to \infty} \frac{-p(1 + \frac{1}{p})}{p(1 - \frac{1}{p})} + 0 = -1$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{logp}{p-1}(x - 1)$

(2) $y'' = -\frac{1}{x^2}$, $y=logx$は上に凸

(3) $S(p) = \frac{-p-1}{2} logp + p - 1$

(4) -1