次の極限を計算する問題です。 $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x - \cos x}{x - \frac{\pi}{4}}$

1. 問題の内容

次の極限を計算する問題です。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x - \cos x}{x - \frac{\pi}{4}}$

2. 解き方の手順

この極限は$\frac{0}{0}$の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。

ロピタルの定理を適用するには、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(\sin x - \cos x) = \cos x + \sin x$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(x - \frac{\pi}{4}) = 1$

したがって、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x - \cos x}{x - \frac{\pi}{4}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x + \sin x}{1}$

$x$に$\frac{\pi}{4}$を代入すると、

$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、極限は

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}$