与えられた曲線と直線で囲まれた領域の面積を求めます。 (1) $y = \sqrt{x}$, $x=2$ (2) $y = \cos x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$), $x = 0$ (3) $y = \log(x-1)$, $x = e+1$ (4) $y = e^x$, $x = 0$, $x = 1$

1. 問題の内容

与えられた曲線と直線で囲まれた領域の面積を求めます。

(1) $y = \sqrt{x}$, $x=2$

(2) $y = \cos x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$), $x = 0$

(3) $y = \log(x-1)$, $x = e+1$

(4) $y = e^x$, $x = 0$, $x = 1$

2. 解き方の手順

(1)

$y = \sqrt{x}$ と $x=2$ および $x$軸で囲まれた領域の面積を求める。

$S = \int_0^2 \sqrt{x} \, dx = \int_0^2 x^{1/2} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^2 = \frac{2}{3} (2)^{3/2} - 0 = \frac{2}{3} (2\sqrt{2}) = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

(2)

$y = \cos x$ と $x=0$, $x = \frac{\pi}{2}$ および $x$軸で囲まれた領域の面積を求める。

$S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = [\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$

(3)

$y = \log(x-1)$ と $x = e+1$ および $x$軸で囲まれた領域の面積を求める。積分区間は、$\log(x-1) = 0$より、$x-1 = 1$つまり、$x=2$から$x=e+1$となる。

$S = \int_2^{e+1} \log(x-1) \, dx$

ここで、$u = x-1$とおくと、$x = u+1$、$dx = du$。積分区間は$1 \le u \le e$となる。

$S = \int_1^e \log u \, du = [u \log u - u]_1^e = (e \log e - e) - (1 \log 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 1$

(4)

$y = e^x$ と $x = 0$, $x = 1$ および $x$軸で囲まれた領域の面積を求める。

$S = \int_0^1 e^x \, dx = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

(2) $1$

(3) $1$

(4) $e-1$