関数 $f(x) = x + \sqrt{2} \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) について、導関数 $f'(x)$ と $f''(x)$ を求め、極値を求める問題です。空欄を埋めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x + \sqrt{2} \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) について、導関数 $f'(x)$ と $f''(x)$ を求め、極値を求める問題です。空欄を埋めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の導関数を計算します。

$f'(x) = 1 - \sqrt{2} \sin x$

$f''(x) = -\sqrt{2} \cos x$

したがって、

$1 = \sqrt{2}$

$2 = \sqrt{2}$

$3 = \sqrt{2}$

(2) $x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$f'(\frac{\pi}{4}) = 1 - \sqrt{2} \sin \frac{\pi}{4} = 1 - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 - 1 = 0$。

$f''(\frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{4} = -\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -1 < 0$

したがって、$5 = <$ であり、選択肢②を選びます。

(3) $f'(\frac{8\pi}{9}) = 1 - \sqrt{2}\sin\frac{8\pi}{9} = 0$ となるので、 $\sin \frac{8\pi}{9} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{8\pi}{9} = \frac{3\pi}{4} + \alpha$ と置いてしまうと, $\sin\frac{8\pi}{9} = \frac{1}{\sqrt{2}}$を満たすような角度が見つけにくい.

$f''(\frac{8\pi}{9}) = -\sqrt{2} \cos \frac{8\pi}{9}$

$\frac{8\pi}{9}$ は第2象限の角度なので、$\cos \frac{8\pi}{9} < 0$ であるから、$f''(\frac{8\pi}{9}) > 0$

したがって、$10 = >$ であり、選択肢①を選びます。

(4) $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + \sqrt{2} \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} + 1 = \frac{\pi + 4}{4}$

したがって、$6 = 4$, $7 = 4$

(5) $x=\frac{8\pi}{9}$のとき極小値をとるので, $f(\frac{8\pi}{9}) = \frac{8\pi}{9} + \sqrt{2}\cos\frac{8\pi}{9} = \frac{11}{12}\pi - 13$ となるようなパラメータを見つける. $\cos\frac{8\pi}{9} = \frac{\frac{11}{12}\pi - \frac{8\pi}{9}}{-\sqrt{2}} - \frac{\pi}{36\sqrt{2}}$なので、パラメータは確定できない.

3. 最終的な答え

1 = 1

2 = $\sqrt{2}$

3 = $\sqrt{2}$

5 = ②

6 = 4

7 = 4

10 = ①