点 $(2, a)$ を通り、曲線 $y = -e^t$ に2本の接線が引けるような実数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $(2, a)$ を通り、曲線 $y = -e^t$ に2本の接線が引けるような実数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、接点の $x$ 座標を $t$ とおくと、曲線 $y = -e^t$ 上の点 $(t, -e^t)$ における接線の方程式は、微分 $y' = -e^t$ より、

$y = -e^t x + (t - 1)e^t$ となります。

この接線が点 $(2, a)$ を通るので、$a = -e^t \cdot 2 + (t + 1)e^t$ となり、$a = (t - 1)e^t$ と表せます。

ここで、$f(t) = (t-1)e^t$ とおくと、$y = f(t)$ のグラフを描くことを考えます。

$f'(t) = e^t + (t-1)e^t = te^t$

$f'(t) = 0$ となるのは $t=0$ の時です。

$t<0$ で $f'(t)<0$, $t>0$ で $f'(t)>0$ となるので、$t=0$で極小値を持ち、その値は$f(0) = (0-1)e^0 = -1$ です。

また、$t \to -\infty$ で $f(t) \to 0$, $t \to \infty$ で $f(t) \to \infty$ となります。

従って、$y=f(t)$のグラフは、選択肢の④となります。

点 $(2, a)$ から曲線に2本の接線が引ける条件は、$f(t)=(t-1)e^t$ となる $t$ が2つ存在する条件です。そのため、$a$ は極小値 $f(0) = -1$ より大きい範囲をとります。

したがって、$a > -1$。

しかし、ここで元の問題の $y = -e^x$ のグラフを考えると、$f(t)=(t-1)e^t$ ではなく、$f(t) = (t-2)e^t$となります。

$f'(t)= e^t + (t-2)e^t = (t-1)e^t$

$f'(t) = 0$ となるのは $t=1$ の時です。

$t<1$ で $f'(t)<0$, $t>1$ で $f'(t)>0$ となるので、$t=1$で極小値を持ち、その値は$f(1) = (1-2)e^1 = -e$ です。

また、$t \to -\infty$ で $f(t) \to 0$, $t \to \infty$ で $f(t) \to \infty$ となります。

従って、$y=f(t)$のグラフは、選択肢の④を $t=1, a=-e$ に平行移動したものとなります。

曲線に2本の接線が引ける条件は、$f(t) = a$ となる $t$ が2つ存在する条件なので、$a > -e$ となります。

3. 最終的な答え

$a > -e$