1000より小さい自然数の中で、4で割ると3余り、5で割ると4余る数はいくつあるか。

1. 問題の内容

1000より小さい自然数の中で、4で割ると3余り、5で割ると4余る数はいくつあるか。

2. 解き方の手順

まず、条件を満たす数を$x$とすると、

$x = 4a + 3$

$x = 5b + 4$

と表せる。（$a, b$は整数）

これらの式から、

$4a + 3 = 5b + 4$

$4a = 5b + 1$

$4a - 5b = 1$

この不定方程式の一つの解を探す。$a = 4, b = 3$が解である。

したがって、$4(4) - 5(3) = 1$となる。

元の式 $4a - 5b = 1$からこの式を引くと、

$4(a - 4) - 5(b - 3) = 0$

$4(a - 4) = 5(b - 3)$

4と5は互いに素なので、$a - 4$は5の倍数であり、$b - 3$は4の倍数である。

したがって、$a - 4 = 5k, b - 3 = 4k$（$k$は整数）と書ける。

$a = 5k + 4, b = 4k + 3$

これを元の式に代入すると、

$x = 4(5k + 4) + 3 = 20k + 16 + 3 = 20k + 19$

$x = 5(4k + 3) + 4 = 20k + 15 + 4 = 20k + 19$

したがって、$x = 20k + 19$となる。

$x < 1000$より、$20k + 19 < 1000$。

$20k < 981$

$k < \frac{981}{20} = 49.05$

$k$は整数なので、$k \le 49$

$k$は0以上の整数なので、$k = 0, 1, 2, ..., 49$の50個。

したがって、条件を満たす数は50個。

3. 最終的な答え

50個