$f(\theta) = \sqrt{3}\sin\theta\cos\theta - \sin^2\theta + 1$ が与えられている。 (1) $f(\theta)$ を $\sin2\theta$, $\cos2\theta$ を用いて表し、さらに $f(\theta) = p\sin(2\theta+\alpha)+q$ の形に変形する。ただし、$p>0$, $0 \leq \alpha < 2\pi$ とする。 (2) 方程式 $f(\theta)=k$ が $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で異なる2つの解をもつような $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$f(\theta) = \sqrt{3}\sin\theta\cos\theta - \sin^2\theta + 1$ が与えられている。

(1) $f(\theta)$ を $\sin2\theta$, $\cos2\theta$ を用いて表し、さらに $f(\theta) = p\sin(2\theta+\alpha)+q$ の形に変形する。ただし、$p>0$, $0 \leq \alpha < 2\pi$ とする。

(2) 方程式 $f(\theta)=k$ が $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で異なる2つの解をもつような $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(\theta)$ を $\sin2\theta$, $\cos2\theta$ を用いて表す。

$2\sin\theta\cos\theta = \sin2\theta$ より、$\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin2\theta$ である。

また、$\cos2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ より、$\sin^2\theta = \frac{1-\cos2\theta}{2}$ である。

これらを用いて $f(\theta)$ を書き換える。

$f(\theta) = \sqrt{3}\sin\theta\cos\theta - \sin^2\theta + 1 = \sqrt{3}\left(\frac{1}{2}\sin2\theta\right) - \frac{1-\cos2\theta}{2} + 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin2\theta + \frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{1}{2} + 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin2\theta + \frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{3}{2}$

次に、三角関数の合成を行う。

$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2\theta + \frac{1}{2}\cos2\theta = \sin\left(2\theta + \frac{\pi}{6}\right)$

したがって、$f(\theta) = \sin\left(2\theta + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{3}{2}$

(2)

$f(\theta) = k$ より、$\sin\left(2\theta + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{3}{2} = k$ となる。

$\sin\left(2\theta + \frac{\pi}{6}\right) = k - \frac{3}{2}$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、$0 < 2\theta < \pi$ なので、$\frac{\pi}{6} < 2\theta + \frac{\pi}{6} < \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7}{6}\pi$ である。

$y = \sin x$ ($x$の範囲は$\frac{\pi}{6} < x < \frac{7}{6}\pi$) と直線 $y = k - \frac{3}{2}$ が異なる2つの交点を持つような $k - \frac{3}{2}$ の範囲を考える。

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ である。また、$x=\frac{7\pi}{6}$ の時、$\sin\frac{7\pi}{6}=-\frac{1}{2}$

したがって、$-\frac{1}{2} < k - \frac{3}{2} \leq 1$

$\frac{3}{2} - \frac{1}{2} < k \leq 1 + \frac{3}{2}$

$1 < k \leq \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $f(\theta) = \sin\left(2\theta + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{3}{2}$

(2) $1 < k \leq \frac{5}{2}$