中心が $(1,0)$、半径が $1$ の円の方程式 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ を、原点Oを極、x軸の正の部分を始線とする極座標の方程式で表す問題です。

1. 問題の内容

中心が $(1,0)$、半径が $1$ の円の方程式 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ を、原点Oを極、x軸の正の部分を始線とする極座標の方程式で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、直交座標 $(x, y)$ と極座標 $(r, \theta)$ の関係を思い出します。

$x = r\cos\theta$

$y = r\sin\theta$

これらの関係式を、与えられた円の方程式 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ に代入します。

$(r\cos\theta - 1)^2 + (r\sin\theta)^2 = 1$

この式を展開します。

$(r^2\cos^2\theta - 2r\cos\theta + 1) + r^2\sin^2\theta = 1$

$r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta - 2r\cos\theta + 1 = 1$

$r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) - 2r\cos\theta = 0$

三角関数の公式 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ を利用します。

$r^2 - 2r\cos\theta = 0$

$r$ でくくります。

$r(r - 2\cos\theta) = 0$

したがって、$r=0$ または $r = 2\cos\theta$ となります。

$r=0$ は原点を表し、$r = 2\cos\theta$ は原点を通る円を表します。$r=2\cos\theta$で原点も表されているので、$r=0$は不要です。

3. 最終的な答え

$r = 2\cos\theta$