中心が$(1,0)$、半径が$1$の円の方程式 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ を、原点を極、x軸の正の部分を始線とする極座標で表す問題です。

1. 問題の内容

中心が$(1,0)$、半径が$1$の円の方程式 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ を、原点を極、x軸の正の部分を始線とする極座標で表す問題です。

2. 解き方の手順

直交座標$(x, y)$と極座標$(r, \theta)$の関係は以下の通りです。

$x = r\cos\theta$

$y = r\sin\theta$

与えられた円の方程式は $(x-1)^2 + y^2 = 1$です。

これを展開すると、

$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1$

$x^2 + y^2 - 2x = 0$

極座標を用いて、$x$と$y$を置き換えます。

$(r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2 - 2(r\cos\theta) = 0$

$r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta - 2r\cos\theta = 0$

$r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) - 2r\cos\theta = 0$

$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$なので、

$r^2 - 2r\cos\theta = 0$

$r(r - 2\cos\theta) = 0$

したがって、$r = 0$または$r = 2\cos\theta$となります。

$r=0$は原点を示し、$r = 2\cos\theta$は円全体を表すため、$r = 2\cos\theta$が求める極方程式です。

3. 最終的な答え

$r = 2\cos\theta$