複素数の累乗の計算問題です。具体的には、$\left( \frac{1+4i}{3-5i} \right)^{-7}$ の値を求める問題です。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

複素数の累乗の計算問題です。具体的には、$\left( \frac{1+4i}{3-5i} \right)^{-7}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1+4i}{3-5i}$を計算し、その結果を極形式で表します。次に、ド・モアブルの定理を用いて、-7乗を計算します。最後に、得られた極形式を直交形式に戻します。

ステップ1: $\frac{1+4i}{3-5i}$ を計算する。

分母の共役複素数である $3+5i$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1+4i}{3-5i} = \frac{(1+4i)(3+5i)}{(3-5i)(3+5i)} = \frac{3 + 5i + 12i + 20i^2}{9 - 25i^2} = \frac{3 + 17i - 20}{9 + 25} = \frac{-17 + 17i}{34} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$

ステップ2: $-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$ を極形式で表す。

$z = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$ とすると、

$r = |z| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\theta = \arg(z) = \arctan\left(\frac{1/2}{-1/2}\right) = \arctan(-1)$

$z$は第2象限にあるので、$\theta = \frac{3\pi}{4}$

したがって、$-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)$

ステップ3: ド・モアブルの定理を用いて、-7乗を計算する。

$\left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\right)^{-7} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)\right)^{-7}$

$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{-7}\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)^{-7}$

$= \left(\frac{2}{\sqrt{2}}\right)^{7}\left(\cos\left(-\frac{21\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{21\pi}{4}\right)\right)$

$= (\sqrt{2})^{7}\left(\cos\left(-\frac{21\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{21\pi}{4}\right)\right)$

$= 2^{7/2}\left(\cos\left(-\frac{21\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{21\pi}{4}\right)\right)$

$= 8\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{21\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{21\pi}{4}\right)\right)$

$-\frac{21\pi}{4} = -\frac{24\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = -6\pi + \frac{3\pi}{4}$

$\cos\left(-\frac{21\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\left(-\frac{21\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$= 8\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$= 8\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(-1 + i)\right)$

$= 8(-1 + i) = -8 + 8i$

3. 最終的な答え

$-8 + 8i$