三角形ABCにおいて、以下の条件が与えられたとき、指定された値を求めます。 (1) $a = 9$, $B = 70^\circ$, $C = 50^\circ$のとき、外接円の半径$R$ (2) $b = 5\sqrt{3}$, 外接円の半径$R = 5$のとき、角$B$ (3) $a = 2\sqrt{3}$, $c = 3\sqrt{2}$, $C = 60^\circ$のとき、角$A$ (4) $B = 120^\circ$, $C = 15^\circ$, $a = 6$のとき、$b$

はい、承知いたしました。問題4-15の各問を解いていきます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の条件が与えられたとき、指定された値を求めます。

(1) $a = 9$, $B = 70^\circ$, $C = 50^\circ$のとき、外接円の半径$R$

(2) $b = 5\sqrt{3}$, 外接円の半径$R = 5$のとき、角$B$

(3) $a = 2\sqrt{3}$, $c = 3\sqrt{2}$, $C = 60^\circ$のとき、角$A$

(4) $B = 120^\circ$, $C = 15^\circ$, $a = 6$のとき、$b$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$A$を求めます。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ$

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = 2R$なので、

$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{9}{2\sin 60^\circ} = \frac{9}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$

(2)

正弦定理より、$\frac{b}{\sin B} = 2R$なので、

$\sin B = \frac{b}{2R} = \frac{5\sqrt{3}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$B$は三角形の内角なので、$0^\circ < B < 180^\circ$。

$\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$を満たす$B$は、$60^\circ$または$120^\circ$。

(3)

余弦定理より、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$なので、

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$を変形して、$b$を求めることができません。正弦定理を用います。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$より、$\sin A = \frac{a \sin C}{c} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sin 60^\circ}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$A$は三角形の内角なので、$0^\circ < A < 180^\circ$。

$\sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}$を満たす$A$は、$45^\circ$または$135^\circ$。

(4)

まず、$A$を求めます。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 120^\circ - 15^\circ = 45^\circ$

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$なので、

$b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{6 \sin 120^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $R = 3\sqrt{3}$

(2) $B = 60^\circ$ または $120^\circ$

(3) $A = 45^\circ$ または $135^\circ$

(4) $b = 3\sqrt{6}$