$9^{2025}$ を 5 で割った余りを求めよ。

数論合同算術剰余べき乗
2025/4/17

1. 問題の内容

920259^{2025} を 5 で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、99 を 5 で割った余りを計算します。
9=5×1+49 = 5 \times 1 + 4 なので、9 を 5 で割った余りは 4 です。
したがって、94(mod5)9 \equiv 4 \pmod{5} です。
次に、44 を 5 で割った余りを考えます。
41(mod5)4 \equiv -1 \pmod{5} です。
したがって、9202542025(1)2025(mod5)9^{2025} \equiv 4^{2025} \equiv (-1)^{2025} \pmod{5} となります。
(1)2025=1(-1)^{2025} = -1 なので、920251(mod5)9^{2025} \equiv -1 \pmod{5} です。
14(mod5)-1 \equiv 4 \pmod{5} なので、920259^{2025} を 5 で割った余りは 4 です。

3. 最終的な答え

4

「数論」の関連問題

数列 $\{a_n\}$ があり、$a_1 = 3$, $a_2 = 2$ で、 $n \ge 2$ のとき $a_{n+1} = a_n^2 + a_n - 1$ を満たします。また、$n \ge ...

数列漸化式数学的帰納法代数
2025/7/27

問題は、3の累乗を並べた表とその各項を5で割った余りの表に関する問題です。 (1) 下の段(5で割った余り)の数のうち最も大きい数を求めます。 (2) 下の段の数を左から順に足していき、1番目から12...

剰余周期性累乗等差数列約数と倍数
2025/7/27

与えられた3つの数(50, 210, 693)をそれぞれ素数の積で表す問題です。

素因数分解素数整数の性質
2025/7/27

正の整数 $a, b, c$ に対して $M = 3^a + 3^b + 3^c + 1$ を定義します。この $M$ が立方数となるような $a, b, c$ の組を求めます。 (1) $a < b...

整数立方数指数
2025/7/26

$n$ は自然数とする。$n+1$ は $6$ の倍数であり、$n+4$ は $9$ の倍数であるとき、$n+13$ は $18$ の倍数であることを証明する。

整数の性質倍数合同式証明
2025/7/26

$n$ は正の整数とする。$n$, 175, 250 の最大公約数が 25, 最小公倍数が 3500 であるような $n$ をすべて求めよ。

最大公約数最小公倍数素因数分解整数の性質
2025/7/26

20の倍数であり、正の約数の個数が15個である自然数 $n$ を全て求める問題です。

約数素因数分解倍数
2025/7/26

自然数 $n$ は20の倍数であり、正の約数の個数が15個である。このような自然数 $n$ をすべて求める。

約数素因数分解倍数整数の性質
2025/7/26

自然数 $n$ は5の倍数であるならば、自然数 $n$ は10の倍数である、という命題の真偽を判定する問題です。

命題真偽判定倍数整数の性質
2025/7/26

$\sqrt{3}$が無理数であることを用いて、以下の数が無理数であることを背理法で証明せよ。 (1) $1 + \sqrt{3}$ (2) $\sqrt{12}$ (3) $\frac{2}{\sq...

無理数背理法平方根証明
2025/7/26