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$9^{2025}$ を 5 で割った余りを求めよ。

数論合同算術剰余べき乗
2025/4/17

1. 問題の内容

920259^{2025} を 5 で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、99 を 5 で割った余りを計算します。
9=5×1+49 = 5 \times 1 + 4 なので、9 を 5 で割った余りは 4 です。
したがって、9≡4(mod5)9 \equiv 4 \pmod{5} です。
次に、44 を 5 で割った余りを考えます。
4≡−1(mod5)4 \equiv -1 \pmod{5} です。
したがって、92025≡42025≡(−1)2025(mod5)9^{2025} \equiv 4^{2025} \equiv (-1)^{2025} \pmod{5} となります。
(−1)2025=−1(-1)^{2025} = -1 なので、92025≡−1(mod5)9^{2025} \equiv -1 \pmod{5} です。
−1≡4(mod5)-1 \equiv 4 \pmod{5} なので、920259^{2025} を 5 で割った余りは 4 です。

3. 最終的な答え

4

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