三角形 ABC において、以下の各条件が与えられたとき、指定された値を求めます。 (1) $a=4$, $c=3$, $B=120^\circ$ のとき、$b$ (2) $A=120^\circ$, $a=\sqrt{7}$, $b=1$ のとき、$c$ (3) $a=5$, $b=1$, $c=3\sqrt{2}$ のとき、$A$

1. 問題の内容

三角形 ABC において、以下の各条件が与えられたとき、指定された値を求めます。

(1) $a=4$, $c=3$, $B=120^\circ$ のとき、$b$

(2) $A=120^\circ$, $a=\sqrt{7}$, $b=1$ のとき、$c$

(3) $a=5$, $b=1$, $c=3\sqrt{2}$ のとき、$A$

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を使って $b$ を求める。

余弦定理より

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

$b^2 = 4^2 + 3^2 - 2(4)(3) \cos 120^\circ$

$b^2 = 16 + 9 - 24 (-\frac{1}{2})$

$b^2 = 25 + 12 = 37$

$b = \sqrt{37}$

(2) 余弦定理を使って $c$ を求める。

余弦定理より

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$(\sqrt{7})^2 = 1^2 + c^2 - 2(1)(c) \cos 120^\circ$

$7 = 1 + c^2 - 2c(-\frac{1}{2})$

$7 = 1 + c^2 + c$

$c^2 + c - 6 = 0$

$(c+3)(c-2) = 0$

$c = -3, 2$

$c>0$ より $c=2$

(3) 余弦定理を使って $A$ を求める。

余弦定理より

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$5^2 = 1^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2(1)(3\sqrt{2}) \cos A$

$25 = 1 + 18 - 6\sqrt{2} \cos A$

$25 = 19 - 6\sqrt{2} \cos A$

$6 = -6\sqrt{2} \cos A$

$\cos A = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$A = 135^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $b = \sqrt{37}$

(2) $c = 2$

(3) $A = 135^\circ$