与えられた方程式と不等式を解く。 (1) $| \frac{1}{2}x - 1 | = 2x - 1$ (2) $2|x-1| - 3|x+3| = 5$ (3) $|10-9x| < 6 - x$ (4) $|x+2| - |x-3| < 4$

1. 問題の内容

与えられた方程式と不等式を解く。

(1) $| \frac{1}{2}x - 1 | = 2x - 1$

(2) $2|x-1| - 3|x+3| = 5$

(3) $|10-9x| < 6 - x$

(4) $|x+2| - |x-3| < 4$

2. 解き方の手順

(1) $| \frac{1}{2}x - 1 | = 2x - 1$ を解く。

絶対値記号を外すため、$\frac{1}{2}x - 1$ の符号によって場合分けする。

i) $\frac{1}{2}x - 1 \geq 0$ のとき、つまり $x \geq 2$ のとき

$\frac{1}{2}x - 1 = 2x - 1$

$\frac{3}{2}x = 0$

$x = 0$

しかし、$x \geq 2$ より、この解は不適。

ii) $\frac{1}{2}x - 1 < 0$ のとき、つまり $x < 2$ のとき

$-\frac{1}{2}x + 1 = 2x - 1$

$\frac{5}{2}x = 2$

$x = \frac{4}{5}$

これは $x < 2$ を満たす。

したがって、$x = \frac{4}{5}$

(2) $2|x-1| - 3|x+3| = 5$ を解く。

絶対値記号を外すため、$x-1$ と $x+3$ の符号によって場合分けする。

i) $x < -3$ のとき

$2(-(x-1)) - 3(-(x+3)) = 5$

$-2x + 2 + 3x + 9 = 5$

$x = -6$

これは $x < -3$ を満たす。

ii) $-3 \leq x < 1$ のとき

$2(-(x-1)) - 3(x+3) = 5$

$-2x + 2 - 3x - 9 = 5$

$-5x = 12$

$x = -\frac{12}{5} = -2.4$

これは $-3 \leq x < 1$ を満たす。

iii) $x \geq 1$ のとき

$2(x-1) - 3(x+3) = 5$

$2x - 2 - 3x - 9 = 5$

$-x = 16$

$x = -16$

しかし、$x \geq 1$ より、この解は不適。

したがって、$x = -6, -\frac{12}{5}$

(3) $|10-9x| < 6 - x$ を解く。

絶対値記号を外すため、場合分けする。

i) $10-9x \geq 0$ のとき、つまり $x \leq \frac{10}{9}$ のとき

$10 - 9x < 6 - x$

$-8x < -4$

$x > \frac{1}{2}$

したがって、$\frac{1}{2} < x \leq \frac{10}{9}$

ii) $10-9x < 0$ のとき、つまり $x > \frac{10}{9}$ のとき

$-(10 - 9x) < 6 - x$

$-10 + 9x < 6 - x$

$10x < 16$

$x < \frac{8}{5}$

したがって、$\frac{10}{9} < x < \frac{8}{5}$

以上より、$\frac{1}{2} < x < \frac{8}{5}$

(4) $|x+2| - |x-3| < 4$ を解く。

絶対値記号を外すため、$x+2$ と $x-3$ の符号によって場合分けする。

i) $x < -2$ のとき

$-(x+2) - (-(x-3)) < 4$

$-x - 2 + x - 3 < 4$

$-5 < 4$

これは常に成り立つので、$x < -2$

ii) $-2 \leq x < 3$ のとき

$x+2 - (-(x-3)) < 4$

$x+2 + x - 3 < 4$

$2x < 5$

$x < \frac{5}{2} = 2.5$

したがって、$-2 \leq x < \frac{5}{2}$

iii) $x \geq 3$ のとき

$x+2 - (x-3) < 4$

$x+2 - x + 3 < 4$

$5 < 4$

これは成り立たない。

以上より、$x < \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{4}{5}$

(2) $x = -6, -\frac{12}{5}$

(3) $\frac{1}{2} < x < \frac{8}{5}$

(4) $x < \frac{5}{2}$