半径1の半球に外接する直円錐がある。直円錐の高さは $h$、底面の半径は $r$、表面積は $S$ とする。 (1) $S$ を $h$ の関数で表す。 (2) $S$ の最小値とそのときの $h$、$r$ の値を求める。

1. 問題の内容

半径1の半球に外接する直円錐がある。直円錐の高さは $h$、底面の半径は $r$、表面積は $S$ とする。

(1) $S$ を $h$ の関数で表す。

(2) $S$ の最小値とそのときの $h$、$r$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直円錐の表面積 $S$ を $h$ の関数で表す。

直円錐の表面積は、底面積と側面積の和である。

底面積は $πr^2$ であり、側面積は $πr\sqrt{r^2 + h^2}$ である。

したがって、$S = πr^2 + πr\sqrt{r^2 + h^2}$ である。

ここで、$r$ と $h$ の関係式を求める。

半球に外接する直円錐なので、$r^2 = h^2 - 1$ である。

これを $S$ の式に代入すると、

$S = π(h^2-1) + π\sqrt{(h^2-1)(h^2-1+h^2)}$

$S = π(h^2-1) + π\sqrt{(h^2-1)(2h^2-1)}$

$S=π(h^2-1 + \sqrt{(h^2-1)(2h^2-1)})$

(2) $S$ の最小値を求める。

$r^2 = h^2 - 1$ より、$h > 1$ である。

$S$ を最小にする $h$ を求めるために、$S$ を $h$ で微分する。

$S = πr(r + \sqrt{r^2+h^2})$ であった。

$S(r) = \pi r(r + \sqrt{r^2+h^2})$.

$S' = \pi (2r + \frac{2r^2 + h^2}{\sqrt{r^2+h^2}})$.

$\sqrt{r^2+h^2} = l$ とする。

直円錐の軸に沿って切ってできる断面を考えると、高さは$h$, 半径は$r$, 母線は$l$.

半球の中心をOとすると、点Oから母線に下ろした垂線の長さが1となる。

$\frac{1}{\sqrt{h^2 + r^2}} = \frac{r}{h}$ となる。

$h = \sqrt{2}r$

$h^2 = 2r^2$

$r^2 = h^2 - 1$より、

$h^2 = 2(h^2 - 1)$

$h^2 = 2h^2 - 2$

$h^2 = 2$

$h = \sqrt{2}$

$r^2 = 2 - 1 = 1$

$r = 1$

$S = π(1 + \sqrt{1+2}) = π(1 + \sqrt{3})$

したがって、$S = π(h^2 - 1) + π\sqrt{(h^2-1)(h^2 + r^2)} = \pi r^2 + \pi r \sqrt{r^2 + h^2} = \pi (r^2 + r \sqrt{r^2+h^2})$.

r = 1, h = $\sqrt{2}$,

$S = \pi (1 + \sqrt{1+2}) = \pi(1 + \sqrt{3})$

3. 最終的な答え

(1) $S=π(h^2-1 + \sqrt{(h^2-1)(2h^2-1)})$

(2) Sの最小値は$π(1+\sqrt{3})$、そのときのhは$\sqrt{2}$、rは1。