半径1の半球に外接する直円錐の高さ$h$、底面の半径$r$、表面積$S$とする。 (1) $S$を$h$の関数で表す。 (2) $S$の最小値と、そのときの$h$、$r$の値を求める。

1. 問題の内容

半径1の半球に外接する直円錐の高さ$h$、底面の半径$r$、表面積$S$とする。

(1) $S$を$h$の関数で表す。

(2) $S$の最小値と、そのときの$h$、$r$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$r$を$h$で表す。直円錐は半球に外接するので、直円錐の頂点から底面に下ろした垂線の足（半球の中心）から、直円錐の母線に下ろした垂線の長さが半球の半径1に等しい。

したがって、直円錐の母線の長さは$\sqrt{r^2 + h^2}$で表せる。

三角形の相似から、$\frac{1}{r} = \frac{\sqrt{r^2 + h^2}}{h}$が成り立つ。

これを整理すると、$h^2 = r^2(r^2 + h^2)$となる。

$h^2 = r^4 + r^2h^2$より、$r^4 = h^2 - r^2h^2 = h^2(1 - r^2)$となる。

よって、$r^2 = \frac{h^2}{h^2 - 1}$

$r = \sqrt{h^2 - 1}$

次に、$S$を求める。直円錐の表面積$S$は、底面積$πr^2$と側面積$πr\sqrt{r^2 + h^2}$の和である。

$S = \pi r^2 + \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$

$S = \pi r(r + \sqrt{r^2 + h^2})$

$S = \pi \frac{h}{\sqrt{h^2 - 1}}(\frac{h}{\sqrt{h^2 - 1}} + \sqrt{\frac{h^2}{h^2 - 1} + h^2}) = \pi \frac{h}{\sqrt{h^2 - 1}}(\frac{h}{\sqrt{h^2 - 1}} + \sqrt{\frac{h^2 + h^4 - h^2}{h^2 - 1}})$

$S = \pi \frac{h}{\sqrt{h^2 - 1}}(\frac{h}{\sqrt{h^2 - 1}} + \sqrt{\frac{h^4}{h^2 - 1}}) = \pi \frac{h}{\sqrt{h^2 - 1}}(\frac{h}{\sqrt{h^2 - 1}} + \frac{h^2}{\sqrt{h^2 - 1}}) = \pi \frac{h}{\sqrt{h^2 - 1}} \cdot \frac{h(1 + h)}{\sqrt{h^2 - 1}}$

$S = \frac{\pi h^2(1 + h)}{h^2 - 1} = \frac{\pi h^2}{h - 1} (h > 1)$

(2) $S$を最小にする$h$の値を求める。

$S = \pi \frac{h^2}{h - 1}$

$\frac{dS}{dh} = \pi \frac{2h(h - 1) - h^2}{(h - 1)^2} = \pi \frac{2h^2 - 2h - h^2}{(h - 1)^2} = \pi \frac{h^2 - 2h}{(h - 1)^2} = \pi \frac{h(h - 2)}{(h - 1)^2}$

$\frac{dS}{dh} = 0$となるのは、$h = 0, 2$

$h > 1$より、$h = 2$

$h = 2$のとき、$S$は最小となる。このとき

$S = \pi \frac{2^2}{2 - 1} = 4\pi$

$r = \frac{h}{\sqrt{h^2 - 1}} = \frac{2}{\sqrt{4 - 1}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \pi \frac{h^2}{h - 1}$

(2) $S$の最小値は $4\pi$, そのときの $h = 2$, $r = \frac{2\sqrt{3}}{3}$