ある放物線をx軸方向に2、y軸方向に-3だけ平行移動し、さらにx軸に関して対称移動したとき、放物線 $y = -2x^2 - 3x + 4$ になった。元の放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

ある放物線をx軸方向に2、y軸方向に-3だけ平行移動し、さらにx軸に関して対称移動したとき、放物線 $y = -2x^2 - 3x + 4$ になった。元の放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、x軸に関して対称移動する前の放物線の方程式を求める。x軸に関して対称移動するということは、$y$ の符号を反転させることなので、

$-y = -2x^2 - 3x + 4$

$y = 2x^2 + 3x - 4$

次に、x軸方向に2、y軸方向に-3だけ平行移動する前の放物線の方程式を求める。平行移動の逆変換を行う。

x軸方向に-2、y軸方向に3だけ平行移動すればよい。

$x$ を $x + 2$ に、$y$ を $y - 3$ に置き換える。

$y - 3 = 2(x + 2)^2 + 3(x + 2) - 4$

$y = 2(x^2 + 4x + 4) + 3x + 6 - 4 + 3$

$y = 2x^2 + 8x + 8 + 3x + 5$

$y = 2x^2 + 11x + 13$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 + 11x + 13$