$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ を満たす$\theta$の値を小さい順に求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ を満たす$\theta$の値を小さい順に求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$2\theta + \frac{\pi}{6} = x$ とおくと、$\sin x = -\frac{1}{2}$ となる $x$ を求める。

$\sin x = -\frac{1}{2}$ を満たす $x$ は、

$x = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi$ または $x = \frac{11\pi}{6} + 2n\pi$ (nは整数)

ここで、$x = 2\theta + \frac{\pi}{6}$ なので、

$2\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi$ または $2\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} + 2n\pi$

したがって、

$2\theta = \frac{6\pi}{6} + 2n\pi = \pi + 2n\pi$ または $2\theta = \frac{10\pi}{6} + 2n\pi = \frac{5\pi}{3} + 2n\pi$

$\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$ または $\theta = \frac{5\pi}{6} + n\pi$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、

$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ または $\theta = \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

小さい順に並べると、$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1): $\frac{\pi}{2}$

(2): $\frac{5\pi}{6}$

(3): $\frac{3\pi}{2}$