$\frac{77}{111}$ を小数で表したとき、小数第 $n$ 位にあらわれる数字を $a_n$ とするとき、$a_n$ を $n$ を用いた式で表す。

1. 問題の内容

$\frac{77}{111}$ を小数で表したとき、小数第 $n$ 位にあらわれる数字を $a_n$ とするとき、$a_n$ を $n$ を用いた式で表す。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{77}{111}$ を小数で表す。

$\frac{77}{111} = \frac{7 \times 11}{3 \times 37} = \frac{7}{3} \times \frac{11}{37}$

$\frac{77}{111}$を計算すると、

$\frac{77}{111} = 0.693693693... = 0.\overline{693}$

小数部分は、6, 9, 3 の繰り返しになる。

したがって、$a_n$ は、$n$ を3で割った余りによって決まる。

- $n$ を 3 で割った余りが 1 のとき、$a_n = 6$

- $n$ を 3 で割った余りが 2 のとき、$a_n = 9$

- $n$ を 3 で割った余りが 0 のとき、$a_n = 3$

これを式で表すと、

$a_n = \begin{cases} 6 & (n \equiv 1 \pmod{3}) \\ 9 & (n \equiv 2 \pmod{3}) \\ 3 & (n \equiv 0 \pmod{3}) \end{cases}$

あるいは、合同式を使わずに場合分けを明確にすると

$a_n = \begin{cases} 6 & (n = 3k+1) \\ 9 & (n = 3k+2) \\ 3 & (n = 3k) \end{cases}$

ただし、$k$は0以上の整数とする。

3. 最終的な答え

$a_n = \begin{cases} 6 & (n \equiv 1 \pmod{3}) \\ 9 & (n \equiv 2 \pmod{3}) \\ 3 & (n \equiv 0 \pmod{3}) \end{cases}$

もしくは

$a_n = \begin{cases} 6 & (n = 3k+1) \\ 9 & (n = 3k+2) \\ 3 & (n = 3k) \end{cases}$

ただし、$k$は0以上の整数とする。