$\frac{77}{111}$ を小数で表したとき、小数第 $n$ 位にあらわれる数字を $a_n$ とする。$a_n$ を $n$ を用いた1つの式で表しなさい。

1. 問題の内容

$\frac{77}{111}$ を小数で表したとき、小数第 $n$ 位にあらわれる数字を $a_n$ とする。$a_n$ を $n$ を用いた1つの式で表しなさい。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{77}{111}$ を小数で表します。

$\frac{77}{111} = 0.693693693... = 0.\overline{693}$

これは、小数第1位から $6, 9, 3$ が繰り返される循環小数です。

したがって、$a_n$ は、$n$ を $3$ で割った余りによって決まります。

* $n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、$a_n = 6$

* $n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、$a_n = 9$

* $n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき、$a_n = 3$

これを三角関数を用いて表すことを試みます。周期が $3$ であることから、$\sin$ を利用することを考えます。

$a_n = A \sin(Bn + C) + D$ の形を仮定します。

$n=1$ のとき、$a_1=6$

$n=2$ のとき、$a_2=9$

$n=3$ のとき、$a_3=3$

$n=4$ のとき、$a_4=6$

画像に書かれている式は、$a_n = 2\sqrt{3} \sin(\frac{2(n-1)\pi}{3}) + 6$ です。

$n=1$ のとき、$a_1 = 2\sqrt{3} \sin(0) + 6 = 6$

$n=2$ のとき、$a_2 = 2\sqrt{3} \sin(\frac{2\pi}{3}) + 6 = 2\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 6 = 3 + 6 = 9$

$n=3$ のとき、$a_3 = 2\sqrt{3} \sin(\frac{4\pi}{3}) + 6 = 2\sqrt{3} (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 6 = -3 + 6 = 3$

$n=4$ のとき、$a_4 = 2\sqrt{3} \sin(\frac{6\pi}{3}) + 6 = 2\sqrt{3} \sin(2\pi) + 6 = 0 + 6 = 6$

したがって、$a_n = 2\sqrt{3} \sin(\frac{2(n-1)\pi}{3}) + 6$ で正しいです。

3. 最終的な答え

$a_n = 2\sqrt{3} \sin(\frac{2(n-1)\pi}{3}) + 6$