分数 $\frac{77}{111}$ を小数で表したとき、小数第 $n$ 位の数字を $a_n$ とします。$a_n$ を $n$ を用いた1つの式で表してください。

1. 問題の内容

分数 $\frac{77}{111}$ を小数で表したとき、小数第 $n$ 位の数字を $a_n$ とします。$a_n$ を $n$ を用いた1つの式で表してください。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{77}{111}$ を小数で表します。

$$\frac{77}{111} = \frac{7}{111} \times 11 = 0.693693693...$$

したがって、$\frac{77}{111}$ は循環小数であり、循環節は $693$ です。つまり、小数第1位から順に $6, 9, 3, 6, 9, 3, ...$ となります。

よって、$a_n$ は周期3の数列です。

$a_1 = 6, a_2 = 9, a_3 = 3, a_4 = 6, a_5 = 9, a_6 = 3, ...$

$n$ を3で割った余りで場合分けして考えます。

- $n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、 $a_n = 6$

- $n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、 $a_n = 9$

- $n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき、 $a_n = 3$

これを一つの式で表すことを考えます。画像にある $a_n = 2\sqrt{3} \sin{\frac{2(n-1)\pi}{3}} + 6$ が本当に答えになっているのかを確認します。

- $n=1$ のとき、$a_1 = 2\sqrt{3} \sin{0} + 6 = 6$

- $n=2$ のとき、$a_2 = 2\sqrt{3} \sin{\frac{2\pi}{3}} + 6 = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 6 = 3 + 6 = 9$

- $n=3$ のとき、$a_3 = 2\sqrt{3} \sin{\frac{4\pi}{3}} + 6 = 2\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 6 = -3 + 6 = 3$

- $n=4$ のとき、$a_4 = 2\sqrt{3} \sin{\frac{6\pi}{3}} + 6 = 2\sqrt{3} \sin{2\pi} + 6 = 6$

したがって、$a_n = 2\sqrt{3} \sin{\frac{2(n-1)\pi}{3}} + 6$ は正しい答えです。

3. 最終的な答え

$a_n = 2\sqrt{3} \sin{\frac{2(n-1)\pi}{3}} + 6$