$\frac{77}{111}$ を小数で表したとき、小数第 $n$ 位にあらわれる数字を $a_n$ とします。$a_n$ を $n$ を用いた1つの式で表しなさい。ただし、三角関数を用いて答えること。

1. 問題の内容

$\frac{77}{111}$ を小数で表したとき、小数第 $n$ 位にあらわれる数字を $a_n$ とします。$a_n$ を $n$ を用いた1つの式で表しなさい。ただし、三角関数を用いて答えること。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{77}{111}$ を小数で表すと、

$\frac{77}{111} = 0.693693693... = 0.\overline{693}$ となります。

これは、小数点以下3桁ごとに 6, 9, 3 が繰り返される循環小数です。

したがって、$a_n$ は3を法として $n$ を考えれば良いことになります。

$n$ を3で割った余りによって場合分けします。

* $n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、$a_n = 6$

* $n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、$a_n = 9$

* $n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき、$a_n = 3$

これを三角関数を用いて表します。

$\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}} = \cos{\frac{2\pi}{3}} + i \sin{\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ と置くと、$\omega^3 = 1$ です。

$a_n = A \omega^0 + B \omega^1 + C \omega^2$ と仮定します。ここで、$\omega^k = \cos\left(\frac{2\pi k}{3}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{3}\right)$ です。

$n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、$a_n = 6 = A + B\omega + C\omega^2$

$n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、$a_n = 9 = A + B\omega^2 + C\omega$

$n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき、$a_n = 3 = A + B + C$

まず、$A$, $B$, $C$ を実数と仮定すると、

$n=1$ のとき、$a_n = A + B\cos{\frac{2\pi}{3}} + C\cos{\frac{4\pi}{3}} = A - \frac{1}{2}B - \frac{1}{2}C = 6$

$n=2$ のとき、$a_n = A + B\cos{\frac{4\pi}{3}} + C\cos{\frac{2\pi}{3}} = A - \frac{1}{2}B - \frac{1}{2}C = 9$

$n=3$ のとき、$a_n = A + B + C = 3$

上の2式は同じなので、3つの変数に対して2つの式しかありません。

したがって、$a_n = A + B \cos\frac{2\pi n}{3} + C \sin \frac{2\pi n}{3}$ とおきます。

すると、$n=1$ のとき、$a_n = A + B\cos\frac{2\pi}{3} + C\sin\frac{2\pi}{3} = A - \frac{1}{2}B + \frac{\sqrt{3}}{2}C = 6$

$n=2$ のとき、$a_n = A + B\cos\frac{4\pi}{3} + C\sin\frac{4\pi}{3} = A - \frac{1}{2}B - \frac{\sqrt{3}}{2}C = 9$

$n=3$ のとき、$a_n = A + B\cos\frac{6\pi}{3} + C\sin\frac{6\pi}{3} = A + B = 3$

この連立方程式を解きます。

上の2式を足すと $2A - B = 15$。

下の式から、$B = 3 - A$ なので、 $2A - (3 - A) = 15$。

$3A = 18$ よって $A = 6$。

$B = 3 - 6 = -3$。

$C = \frac{6 - A + \frac{1}{2}B}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6 - 6 - \frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$。

よって、$a_n = 6 - 3\cos\left(\frac{2\pi n}{3}\right) - \sqrt{3}\sin\left(\frac{2\pi n}{3}\right)$。

別の変形をすると、$a_n = 6 + \sqrt{9+3}\cos(\frac{2\pi n}{3} + \alpha) = 6 + 2\sqrt{3} \cos(\frac{2\pi n}{3} + \alpha)$.

$a_n = 6 - 3 \cos(\frac{2\pi n}{3}) - \sqrt{3} \sin(\frac{2\pi n}{3})$ とおくとき

$a_1 = 6 - 3 (-\frac{1}{2}) - \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 6 + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 6$

$a_2 = 6 - 3 (-\frac{1}{2}) - \sqrt{3} (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 6 + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 9$

$a_3 = 6 - 3 (1) - \sqrt{3} (0) = 3$

したがって、

$a_n = 6 - 3 \cos(\frac{2\pi n}{3}) - \sqrt{3} \sin(\frac{2\pi n}{3})$ が答えです。

3. 最終的な答え

$a_n = 6 - 3 \cos(\frac{2\pi n}{3}) - \sqrt{3} \sin(\frac{2\pi n}{3})$