すべての自然数 $n$ に対して、$2^{n-1} + 3^{3n-2} + 7^{n-1}$ が5の倍数であることを、数学的帰納法を用いて証明する。

1. 問題の内容

すべての自然数 $n$ に対して、$2^{n-1} + 3^{3n-2} + 7^{n-1}$ が5の倍数であることを、数学的帰納法を用いて証明する。

2. 解き方の手順

(i) $n=1$ のとき、$2^{1-1} + 3^{3(1)-2} + 7^{1-1} = 2^0 + 3^1 + 7^0 = 1 + 3 + 1 = 5$ となり、5の倍数である。

(ii) $n=k$ のとき、$2^{k-1} + 3^{3k-2} + 7^{k-1}$ が5の倍数であると仮定する。すなわち、$2^{k-1} + 3^{3k-2} + 7^{k-1} = 5m$ （$m$は整数）と表せると仮定する。

(iii) $n=k+1$ のとき、$2^{(k+1)-1} + 3^{3(k+1)-2} + 7^{(k+1)-1} = 2^k + 3^{3k+1} + 7^k$ が5の倍数であることを示す。

$2^k + 3^{3k+1} + 7^k = 2 \cdot 2^{k-1} + 3^3 \cdot 3^{3k-2} + 7 \cdot 7^{k-1} = 2 \cdot 2^{k-1} + 27 \cdot 3^{3k-2} + 7 \cdot 7^{k-1}$

ここで、$2^{k-1} + 3^{3k-2} + 7^{k-1} = 5m$ より、$2^{k-1} = 5m - 3^{3k-2} - 7^{k-1}$ であるから、

$2 \cdot 2^{k-1} + 27 \cdot 3^{3k-2} + 7 \cdot 7^{k-1} = 2(5m - 3^{3k-2} - 7^{k-1}) + 27 \cdot 3^{3k-2} + 7 \cdot 7^{k-1} = 10m - 2 \cdot 3^{3k-2} - 2 \cdot 7^{k-1} + 27 \cdot 3^{3k-2} + 7 \cdot 7^{k-1} = 10m + 25 \cdot 3^{3k-2} + 5 \cdot 7^{k-1} = 5(2m + 5 \cdot 3^{3k-2} + 7^{k-1})$

$2m + 5 \cdot 3^{3k-2} + 7^{k-1}$ は整数であるから、$2^k + 3^{3k+1} + 7^k$ は5の倍数である。

したがって、$n=k+1$ のときも成立する。

(i), (ii), (iii) より、すべての自然数 $n$ に対して、$2^{n-1} + 3^{3n-2} + 7^{n-1}$ は5の倍数である。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、$2^{n-1} + 3^{3n-2} + 7^{n-1}$ は5の倍数である。