3桁の自然数について、以下の個数を求めます。 (1) 3の倍数かつ5の倍数であるものの個数 (2) 3の倍数または5の倍数であるものの個数 (3) 15と互いに素であるものの個数

1. 問題の内容

3桁の自然数について、以下の個数を求めます。

(1) 3の倍数かつ5の倍数であるものの個数

(2) 3の倍数または5の倍数であるものの個数

(3) 15と互いに素であるものの個数

2. 解き方の手順

まず、3桁の自然数全体の個数を求めます。3桁の自然数は100から999までの整数なので、

$999 - 100 + 1 = 900$ 個あります。

(1) 3の倍数かつ5の倍数である数は、15の倍数です。

3桁の15の倍数の個数を求めます。

3桁の15の倍数のうち、最小の数は105 ($15 \times 7$)、最大の数は990 ($15 \times 66$)です。

したがって、3桁の15の倍数の個数は、

$66 - 7 + 1 = 60$ 個です。

(2) 3の倍数または5の倍数である数の個数を求めます。

3の倍数の個数：

3桁の3の倍数のうち、最小の数は102 ($3 \times 34$)、最大の数は999 ($3 \times 333$)です。

したがって、3桁の3の倍数の個数は、

$333 - 34 + 1 = 300$ 個です。

5の倍数の個数：

3桁の5の倍数のうち、最小の数は100 ($5 \times 20$)、最大の数は995 ($5 \times 199$)です。

したがって、3桁の5の倍数の個数は、

$199 - 20 + 1 = 180$ 個です。

3の倍数かつ5の倍数（15の倍数）の個数は(1)で求めた通り60個です。

したがって、3の倍数または5の倍数である数の個数は、

$300 + 180 - 60 = 420$ 個です。（包除原理）

(3) 15と互いに素であるものの個数を求めます。

15 = 3 x 5 なので、15と互いに素な数は、3の倍数でも5の倍数でもない数です。

3桁の自然数全体から、3の倍数または5の倍数の個数を引けばよいので、

$900 - 420 = 480$ 個です。

3. 最終的な答え

(1) 60個

(2) 420個

(3) 480個