整数 $n$ について、命題「$n^2$ が 5 の倍数でないならば、$n$ は 5 の倍数でない」を、対偶を利用して証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、命題「$n^2$ が 5 の倍数でないならば、$n$ は 5 の倍数でない」を、対偶を利用して証明する。

2. 解き方の手順

対偶を考える。元の命題「$n^2$ が 5 の倍数でないならば、$n$ は 5 の倍数でない」の対偶は「$n$ が 5 の倍数ならば、$n^2$ は 5 の倍数である」となる。この対偶を証明する。

$n$ が 5 の倍数であると仮定すると、$n = 5k$ (ただし、$k$ は整数) と表せる。

このとき、$n^2$ は

$$n^2 = (5k)^2 = 25k^2 = 5(5k^2)$$

と表せる。

$5k^2$ は整数なので、$n^2$ は 5 の倍数である。

したがって、「$n$ が 5 の倍数ならば、$n^2$ は 5 の倍数である」が成り立つ。

元の命題の対偶が真であるから、元の命題も真である。よって、「$n^2$ が 5 の倍数でないならば、$n$ は 5 の倍数でない」は証明された。

3. 最終的な答え

$n$ が 5 の倍数ならば、$n^2$ は 5 の倍数である。よって、$n^2$ が 5 の倍数でないならば、$n$ は 5 の倍数でない。