9で割り切れる整数全体の集合をA、15で割り切れる整数全体の集合をBとします。 Cを、$C = \{x+y | x \in A, y \in B\}$と定義したとき、Cが3で割り切れる整数全体の集合と一致することを示してください。

1. 問題の内容

9で割り切れる整数全体の集合をA、15で割り切れる整数全体の集合をBとします。

Cを、$C = \{x+y | x \in A, y \in B\}$と定義したとき、Cが3で割り切れる整数全体の集合と一致することを示してください。

2. 解き方の手順

(1) Cの要素がすべて3で割り切れることを示す。

$x \in A$なので、$x$は9で割り切れます。つまり、ある整数$m$を用いて、$x = 9m$と書けます。

$y \in B$なので、$y$は15で割り切れます。つまり、ある整数$n$を用いて、$y = 15n$と書けます。

したがって、$x+y = 9m + 15n = 3(3m + 5n)$となり、$x+y$は3で割り切れます。

よって、Cの要素はすべて3で割り切れます。

(2) 3で割り切れる任意の整数がCの要素であることを示す。

3で割り切れる任意の整数を$z$とします。つまり、ある整数$k$を用いて、$z = 3k$と書けます。

$z$を$x+y$の形に書き表すことを考えます。

$3k = 9m + 15n$となるような整数$m$と$n$が存在すれば良いです。

$z = 3k = 3k + 0 = 9(-2k) + 15(k)$。ここで、$m = -2k$, $n = k$とすれば、$x = 9m = -18k \in A$, $y = 15n = 15k \in B$となり、$x+y = -18k + 15k = -3k$となります。

$z = 3k = 9(2k) - 15(k)$より、$m = 2k, n = -k$とおくと、$x = 9m = 18k \in A$, $y = 15n = -15k \in B$となり、$x + y = 18k - 15k = 3k = z$です。

したがって、3で割り切れる任意の整数$z$は、ある$x \in A$とある$y \in B$を用いて、$z = x+y$と書けるので、$z \in C$です。

(1)(2)より、Cは3で割り切れる整数全体の集合と一致します。

3. 最終的な答え

Cは3で割り切れる整数全体の集合と一致する。