この問題は、次の3つの問いに答えるものです。 (1) $2^{2017}$ の一の位の数字を求める。 (2) $11^{2017}$ の下二桁を求める。 (3) $6^{2017}$ の下二桁を求める。

1. 問題の内容

この問題は、次の3つの問いに答えるものです。

(1) $2^{2017}$ の一の位の数字を求める。

(2) $11^{2017}$ の下二桁を求める。

(3) $6^{2017}$ の下二桁を求める。

2. 解き方の手順

(1) $2^{2017}$ の一の位の数字を求める。

2の累乗の一の位の数字のパターンを見つける。

$2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, $2^5=32$, $2^6=64$, $2^7=128$, $2^8=256$

一の位の数字は 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ... と繰り返される。

このパターンは4つの数字で繰り返されるので、$2017$ を4で割った余りを求める。

$2017 = 4 \times 504 + 1$

余りは1なので、$2^{2017}$ の一の位の数字は $2^1$ の一の位の数字と同じである。

(2) $11^{2017}$ の下二桁を求める。

二項定理を使って、$11^{2017} = (10+1)^{2017}$ を展開する。

$(10+1)^{2017} = \sum_{k=0}^{2017} \binom{2017}{k} 10^k 1^{2017-k}$

下二桁を求めるので、$10^2$ 以上の項は無視できる。

$(10+1)^{2017} \equiv \binom{2017}{0}10^0 + \binom{2017}{1}10^1 \pmod{100}$

$\equiv 1 + 2017 \times 10 \pmod{100}$

$\equiv 1 + 20170 \pmod{100}$

$\equiv 1 + 70 \pmod{100}$

$\equiv 71 \pmod{100}$

(3) $6^{2017}$ の下二桁を求める。

$6^1 = 06$

$6^2 = 36$

$6^3 = 216$

$6^4 = 1296$

$6^5 = 7776$

$6^n$ の下二桁は $n \ge 2$ のとき常に36である。

これは数学的帰納法で示すことができる。

$n=2$のとき、$6^2 = 36$なので成り立つ。

$6^k$の下二桁が36であると仮定する。すなわち、$6^k \equiv 36 \pmod{100}$

$6^{k+1} = 6^k \times 6 \equiv 36 \times 6 \pmod{100}$

$36 \times 6 = 216 \equiv 16 \pmod{100}$

$6^{k+1} \equiv 216 = 200+16 \equiv 16 \pmod{100}$

$6^2=36$, $6^3=216 \equiv 16 \pmod{100}$

$6^{2017}$ の下二桁を求める. $6^2 = 36$, $6^3=216 \equiv 16 \pmod{100}$.

$6^4 \equiv 16*6 = 96 \pmod{100}$, $6^5 \equiv 96*6 \equiv 576 \equiv 76 \pmod{100}$

$6^6 \equiv 76*6 \equiv 456 \equiv 56 \pmod{100}$

$6^7 \equiv 56*6 \equiv 336 \equiv 36 \pmod{100}$

下二桁は、36, 16, 96, 76, 56と繰り返す。

ただし、6^1 = 6, 6^2=36, 6^3=216なので、規則が異なる。

$2017-2 = 2015$, $2015 \div 5 = 403$ 余り 0

$6^{2017}$ は6^7と同じ余りなので36

別の解法:

$6^n$の下二桁は常に36ではない。

n >=2 のとき、$6^n$の下二桁は常に同じではない。

$6^2 = 36$

$6^3 = 216 \equiv 16 \pmod{100}$

$6^4 = 1296 \equiv 96 \pmod{100}$

$6^5 = 7776 \equiv 76 \pmod{100}$

$6^6 = 46656 \equiv 56 \pmod{100}$

$6^7 = 279936 \equiv 36 \pmod{100}$

したがって、$6^n \pmod{100}$はn>=2のとき周期5で繰り返す。すなわち36, 16, 96, 76, 56, 36, ...

$2017-2 = 2015$, $2015 \equiv 0 \pmod{5}$. したがって、$6^{2017}$の下二桁は $6^2$と同じく

3

6.

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 71

(3) 36