4桁の整数$abc6$があり、$a$, $b$, $c$は1桁の整数である。この整数が3, 7, 11のいずれでも割り切れるとき、$a+b+c$が最大となるのはいくらか。

1. 問題の内容

4桁の整数$abc6$があり、$a$, $b$, $c$は1桁の整数である。この整数が3, 7, 11のいずれでも割り切れるとき、$a+b+c$が最大となるのはいくらか。

2. 解き方の手順

整数$abc6$が3, 7, 11のいずれでも割り切れるので、3, 7, 11の最小公倍数で割り切れる。3, 7, 11は互いに素なので、最小公倍数は$3 \times 7 \times 11 = 231$である。したがって、$abc6$は231で割り切れる。

4桁の整数$abc6$は、$1000a + 100b + 10c + 6$と表される。これが231で割り切れるので、

$1000a + 100b + 10c + 6 = 231k$（$k$は整数）と表せる。

$1000 \le abc6 \le 9996$なので、

$1000 \le 231k \le 9996$

$1000/231 \le k \le 9996/231$

$4.329 \le k \le 43.27$

$k$は整数なので、$5 \le k \le 43$となる。

$231k$の形が$abc6$となる整数を探す。つまり、一の位が6になるものを見つける。

$231 \times 6 = 1386$

$231 \times 16 = 3696$

$231 \times 26 = 6006$

$231 \times 36 = 8316$

$a+b+c$を計算する。

$k=6$のとき、$abc6 = 1386$、$a+b+c = 1+3+8 = 12$

$k=16$のとき、$abc6 = 3696$、$a+b+c = 3+6+9 = 18$

$k=26$のとき、$abc6 = 6006$、$a+b+c = 6+0+0 = 6$

$k=36$のとき、$abc6 = 8316$、$a+b+c = 8+3+1 = 12$

$a+b+c$が最大となるのは$abc6 = 3696$のときで、$a+b+c = 18$。

3. 最終的な答え

18