$n$ を自然数とするとき、$2n-1$ と $2n+1$ が互いに素であることを示す問題です。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、$2n-1$ と $2n+1$ が互いに素であることを示す問題です。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。

$2n-1$ と $2n+1$ が互いに素でないと仮定します。つまり、1より大きいある整数 $d$ が存在し、$2n-1$ と $2n+1$ の両方を割り切るとします。

このとき、$d$ は $2n+1$ から $2n-1$ を引いた差も割り切ります。

$(2n+1) - (2n-1) = 2$

したがって、$d$ は $2$ を割り切ります。つまり、$d = 2$ です。

しかし、$2n-1$ は常に奇数なので、$2$ で割り切れることはありません。

これは矛盾です。

したがって、$2n-1$ と $2n+1$ は互いに素である必要があります。

3. 最終的な答え

$n$を自然数とするとき、$2n-1$と$2n+1$は互いに素である。