(1) 整数 $a$ の平方 $a^2$ が3の倍数ならば、$a$ は3の倍数である。このことを用いて、$\sqrt{3}$ が無理数であることを証明する。 (2) 次の等式を満たす有理数 $a, b$ の値を求める。 $a-3+(2-b)\sqrt{3}+\sqrt{3}(a-2b\sqrt{3})=0$

1. 問題の内容

(1) 整数 $a$ の平方 $a^2$ が3の倍数ならば、$a$ は3の倍数である。このことを用いて、$\sqrt{3}$ が無理数であることを証明する。

(2) 次の等式を満たす有理数 $a, b$ の値を求める。

$a-3+(2-b)\sqrt{3}+\sqrt{3}(a-2b\sqrt{3})=0$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3}$ が無理数であることの証明

背理法を用いる。$\sqrt{3}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な整数 $m, n$ を用いて $\sqrt{3} = \frac{m}{n}$ と表すことができる。

両辺を2乗すると、

$3 = \frac{m^2}{n^2}$

$3n^2 = m^2$

この式から、$m^2$ は3の倍数である。問題文の条件より、$m$ は3の倍数である。したがって、$m = 3k$ （$k$ は整数）と表せる。

これを $3n^2 = m^2$ に代入すると、

$3n^2 = (3k)^2 = 9k^2$

$n^2 = 3k^2$

この式から、$n^2$ は3の倍数である。問題文の条件より、$n$ は3の倍数である。

$m$ も $n$ も3の倍数となり、$m$ と $n$ が互いに素であるという仮定に矛盾する。

したがって、$\sqrt{3}$ は無理数である。

(2) 等式を満たす有理数 $a, b$ の値を求める

$a-3+(2-b)\sqrt{3}+\sqrt{3}(a-2b\sqrt{3})=0$

$a-3+(2-b)\sqrt{3}+a\sqrt{3}-2b(3)=0$

$a-3+(2-b)\sqrt{3}+a\sqrt{3}-6b=0$

$(a-3-6b)+(2-b+a)\sqrt{3} = 0$

$a, b$ は有理数なので、$a-3-6b$ と $2-b+a$ も有理数である。$\sqrt{3}$ は無理数なので、

$a-3-6b = 0$ かつ $2-b+a = 0$

という連立方程式が成り立つ。

$a-6b = 3$

$a-b = -2$

2つの式を引き算すると、

$-5b = 5$

$b = -1$

$a - (-1) = -2$

$a = -3$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}$ は無理数である。（証明終わり）

(2) $a = -3$, $b = -1$