$\frac{77}{111}$ を小数で表したとき、小数第 $n$ 位にあらわれる数字を $a_n$ とします。$a_n$ を $n$ を用いた1つの式で表しなさい。ただし、三角関数を用いて答えること。

1. 問題の内容

$\frac{77}{111}$ を小数で表したとき、小数第 $n$ 位にあらわれる数字を $a_n$ とします。$a_n$ を $n$ を用いた1つの式で表しなさい。ただし、三角関数を用いて答えること。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{77}{111}$ を小数で表します。

$\frac{77}{111} = 0.693693693... = 0.\overline{693}$

これは循環小数で、循環節は693です。したがって、$a_n$ は周期3で繰り返される数列となります。

$n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...$ に対し、

$a_n = 6, 9, 3, 6, 9, 3, ...$

三角関数を用いて表すために、以下のような関数を考えます。

$\cos\left(\frac{2\pi n}{3}\right)$ は $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...$ に対して、

$-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1, ...$

$\sin\left(\frac{2\pi n}{3}\right)$ は $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...$ に対して、

$\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, ...$

$a_n = A \cos\left(\frac{2\pi n}{3}\right) + B \sin\left(\frac{2\pi n}{3}\right) + C$

とおいて、係数 $A, B, C$ を求めます。

$n = 1$ のとき、$a_1 = 6 = -\frac{1}{2}A + \frac{\sqrt{3}}{2}B + C$

$n = 2$ のとき、$a_2 = 9 = -\frac{1}{2}A - \frac{\sqrt{3}}{2}B + C$

$n = 3$ のとき、$a_3 = 3 = A + C$

上の2式を足すと、

$15 = -A + 2C$

これと、$3 = A + C$ を足すと、

$18 = 3C$

$C = 6$

$A = 3 - C = 3 - 6 = -3$

$6 = -\frac{1}{2}(-3) + \frac{\sqrt{3}}{2}B + 6$

$0 = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}B$

$\frac{\sqrt{3}}{2}B = -\frac{3}{2}$

$B = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$

したがって、

$a_n = -3\cos\left(\frac{2\pi n}{3}\right) - \sqrt{3}\sin\left(\frac{2\pi n}{3}\right) + 6$

3. 最終的な答え

$a_n = -3\cos\left(\frac{2\pi n}{3}\right) - \sqrt{3}\sin\left(\frac{2\pi n}{3}\right) + 6$