$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $2\sin^2\theta + 5\cos\theta - 4 < 0$ を満たす $\theta$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $2\sin^2\theta + 5\cos\theta - 4 < 0$ を満たす $\theta$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2\theta$ を $\cos\theta$ で表すために、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ である。これを不等式に代入すると、

$2(1 - \cos^2\theta) + 5\cos\theta - 4 < 0$

$2 - 2\cos^2\theta + 5\cos\theta - 4 < 0$

$-2\cos^2\theta + 5\cos\theta - 2 < 0$

$2\cos^2\theta - 5\cos\theta + 2 > 0$

ここで、$x = \cos\theta$ とおくと、不等式は

$2x^2 - 5x + 2 > 0$

$(2x - 1)(x - 2) > 0$

この不等式を解くと、

$x < \frac{1}{2}$ または $x > 2$

しかし、$-1 \le \cos\theta \le 1$ であるため、$x > 2$ はありえない。したがって、$x < \frac{1}{2}$ である。つまり、$\cos\theta < \frac{1}{2}$ である。

$\cos\theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ である。$\cos\theta < \frac{1}{2}$ となる $\theta$ の範囲は、$\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}$ である。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}$

(1): π/3

(2): 5π/3