$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$2\cos^2\theta \le \sin\theta + 1$ を満たす $\theta$ の範囲を求める問題です。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$2\cos^2\theta \le \sin\theta + 1$ を満たす $\theta$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の関係式 $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を用いて、不等式を $\sin\theta$ だけの式に書き換えます。

$2(1 - \sin^2\theta) \le \sin\theta + 1$

$2 - 2\sin^2\theta \le \sin\theta + 1$

$0 \le 2\sin^2\theta + \sin\theta - 1$

$2\sin^2\theta + \sin\theta - 1 \ge 0$

次に、この不等式を解くために、左辺を因数分解します。

$(2\sin\theta - 1)(\sin\theta + 1) \ge 0$

この不等式が成立するためには、以下の2つの場合が考えられます。

(i) $2\sin\theta - 1 \ge 0$ かつ $\sin\theta + 1 \ge 0$

(ii) $2\sin\theta - 1 \le 0$ かつ $\sin\theta + 1 \le 0$

$\sin\theta + 1 \ge 0$ は常に成立するので、(i) は $2\sin\theta - 1 \ge 0$ つまり $\sin\theta \ge \frac{1}{2}$ と同値です。

$\sin\theta + 1 \le 0$ となるのは $\sin\theta = -1$ のときのみであり、$2\sin\theta - 1 \le 0$ も成立するため、(ii) は $\sin\theta = -1$ と同値です。

$\sin\theta \ge \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲は、$\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5\pi}{6}$ です。

$\sin\theta = -1$ を満たす $\theta$ は、$\theta = \frac{3\pi}{2}$ です。

したがって、$\theta$ の範囲は $\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5\pi}{6}$ または $\theta = \frac{3\pi}{2}$ です。これを記述すると、

$\theta = [\frac{1}{6}]\pi \sim [\frac{5}{6}]\pi, \theta = [\frac{3}{2}]\pi$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{1}{6}\pi \le \theta \le \frac{5}{6}\pi$, $\theta = \frac{3}{2}\pi$

(1) 1

(2) 6

(3) 5

(4) 6

(5) 3

(6) 2