SENSEI AI
About App

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$2\cos^2\theta \le \sin\theta + 1$ を満たす $\theta$ の範囲を求める問題です。

解析学三角関数不等式sincos三角関数の合成解の範囲
2025/3/15
はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi のとき、2cos⁡2θ≤sin⁡θ+12\cos^2\theta \le \sin\theta + 1 を満たす θ\theta の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の関係式 cos⁡2θ=1−sin⁡2θ\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta を用いて、不等式を sin⁡θ\sin\theta だけの式に書き換えます。
2(1−sin⁡2θ)≤sin⁡θ+12(1 - \sin^2\theta) \le \sin\theta + 1
2−2sin⁡2θ≤sin⁡θ+12 - 2\sin^2\theta \le \sin\theta + 1
0≤2sin⁡2θ+sin⁡θ−10 \le 2\sin^2\theta + \sin\theta - 1
2sin⁡2θ+sin⁡θ−1≥02\sin^2\theta + \sin\theta - 1 \ge 0
次に、この不等式を解くために、左辺を因数分解します。
(2sin⁡θ−1)(sin⁡θ+1)≥0(2\sin\theta - 1)(\sin\theta + 1) \ge 0
この不等式が成立するためには、以下の2つの場合が考えられます。
(i) 2sin⁡θ−1≥02\sin\theta - 1 \ge 0 かつ sin⁡θ+1≥0\sin\theta + 1 \ge 0
(ii) 2sin⁡θ−1≤02\sin\theta - 1 \le 0 かつ sin⁡θ+1≤0\sin\theta + 1 \le 0
sin⁡θ+1≥0\sin\theta + 1 \ge 0 は常に成立するので、(i) は 2sin⁡θ−1≥02\sin\theta - 1 \ge 0 つまり sin⁡θ≥12\sin\theta \ge \frac{1}{2} と同値です。
sin⁡θ+1≤0\sin\theta + 1 \le 0 となるのは sin⁡θ=−1\sin\theta = -1 のときのみであり、2sin⁡θ−1≤02\sin\theta - 1 \le 0 も成立するため、(ii) は sin⁡θ=−1\sin\theta = -1 と同値です。
sin⁡θ≥12\sin\theta \ge \frac{1}{2} を満たす θ\theta の範囲は、π6≤θ≤5π6\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5\pi}{6} です。
sin⁡θ=−1\sin\theta = -1 を満たす θ\theta は、θ=3π2\theta = \frac{3\pi}{2} です。
したがって、θ\theta の範囲は π6≤θ≤5π6\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5\pi}{6} または θ=3π2\theta = \frac{3\pi}{2} です。これを記述すると、
θ=[16]π∼[56]π,θ=[32]π\theta = [\frac{1}{6}]\pi \sim [\frac{5}{6}]\pi, \theta = [\frac{3}{2}]\pi

3. 最終的な答え

θ=16π≤θ≤56π\theta = \frac{1}{6}\pi \le \theta \le \frac{5}{6}\pi, θ=32π\theta = \frac{3}{2}\pi
(1) 1
(2) 6
(3) 5
(4) 6
(5) 3
(6) 2

「解析学」の関連問題

与えられた関数 $y = \sin x$ の微分を求める問題です。

微分三角関数sincos
2025/6/14

次の3つの関数の増減を調べる問題です。 (1) $y = x + \sin x$ $(0 \le x \le 2\pi)$ (2) $y = e^x - x$ (3) $y = x - \log x...

微分増減導関数三角関数指数関数対数関数
2025/6/14

問題は2つあります。 (1) $\lim_{x \to +\infty} x \log(\frac{x-1}{x+1})$ の極限を求める。 (2) $n$が奇数のとき、$\sin x = \sum_...

極限マクローリン展開テイラーの定理sin関数
2025/6/14

$a < b$ のとき、$e^a < \frac{e^b - e^a}{b-a} < e^b$ を平均値の定理を用いて証明する。

平均値の定理指数関数不等式単調増加
2025/6/14

次の三角関数のグラフを描き、その周期を求めよ。 (1) $y = 2\cos{\theta}$ (2) $y = \frac{1}{2}\sin{\theta}$ (3) $y = \frac{1}{...

三角関数グラフ周期cossintan
2025/6/14

与えられた2つの数列の和を計算し、それぞれの結果を箱で表された形で示す問題です。 一つ目の和は $\sum_{k=1}^{n} k \cdot (-2)^{k-1}$ であり、二つ目の和は $\sum...

級数等比数列微分シグマ
2025/6/14

与えられた10個の極限の値を、選択肢の中から選び出す問題です。選択肢は以下の通りです。 1. $-\infty$

極限数列関数の極限三角関数対数関数
2025/6/14

問題は、極限 $\lim_{n \to \infty} 2n$ を計算することです。

極限数列
2025/6/14

関数 $f(x, y)$ が次のように定義されています。 $f(x, y) = \begin{cases} \frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy^3 & (x, y...

偏微分極限偏導関数多変数関数
2025/6/14

次の関数 $f(x, y)$ の点 $(0, 0)$ での $\vec{l} = (\cos \theta, \sin \theta)$ 方向の微分係数 $\frac{\partial f}{\par...

多変数関数方向微分極限
2025/6/14