$0 \le x < 2\pi$ のとき、関数 $y = 2\cos^2 x + \sin x - 1$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、関数 $y = 2\cos^2 x + \sin x - 1$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を用いて、関数を $\sin x$ の式で表します。

$y = 2(1 - \sin^2 x) + \sin x - 1$

$y = 2 - 2\sin^2 x + \sin x - 1$

$y = -2\sin^2 x + \sin x + 1$

次に、$\sin x = t$ とおきます。$0 \le x < 2\pi$ より $-1 \le \sin x \le 1$ なので、$-1 \le t \le 1$ となります。

$y = -2t^2 + t + 1$

この2次関数を平方完成します。

$y = -2(t^2 - \frac{1}{2}t) + 1$

$y = -2(t - \frac{1}{4})^2 + 2(\frac{1}{16}) + 1$

$y = -2(t - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8} + 1$

$y = -2(t - \frac{1}{4})^2 + \frac{9}{8}$

$y$ は $t = \frac{1}{4}$ のとき最大値 $\frac{9}{8}$ をとります。これは$-1 \le t \le 1$ の範囲内なので、最大値は $\frac{9}{8}$ です。

次に、最小値を考えます。$t = -1$ のとき、

$y = -2(-1 - \frac{1}{4})^2 + \frac{9}{8} = -2(\frac{-5}{4})^2 + \frac{9}{8} = -2(\frac{25}{16}) + \frac{9}{8} = -\frac{25}{8} + \frac{9}{8} = -\frac{16}{8} = -2$

$t = 1$ のとき、

$y = -2(1 - \frac{1}{4})^2 + \frac{9}{8} = -2(\frac{3}{4})^2 + \frac{9}{8} = -2(\frac{9}{16}) + \frac{9}{8} = -\frac{9}{8} + \frac{9}{8} = 0$

よって、$t = -1$ のとき最小値 $-2$ をとります。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{9}{8}$

最小値: $-2$