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$0 \le x < 2\pi$ のとき、関数 $y = 2\cos^2 x + \sin x - 1$ の最大値と最小値を求めよ。

解析学三角関数最大値最小値2次関数平方完成
2025/3/15

1. 問題の内容

0≤x<2π0 \le x < 2\pi のとき、関数 y=2cos⁡2x+sin⁡x−1y = 2\cos^2 x + \sin x - 1 の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2 x = 1 - \sin^2 x を用いて、関数を sin⁡x\sin x の式で表します。
y=2(1−sin⁡2x)+sin⁡x−1y = 2(1 - \sin^2 x) + \sin x - 1
y=2−2sin⁡2x+sin⁡x−1y = 2 - 2\sin^2 x + \sin x - 1
y=−2sin⁡2x+sin⁡x+1y = -2\sin^2 x + \sin x + 1
次に、sin⁡x=t\sin x = t とおきます。0≤x<2π0 \le x < 2\pi より −1≤sin⁡x≤1-1 \le \sin x \le 1 なので、−1≤t≤1-1 \le t \le 1 となります。
y=−2t2+t+1y = -2t^2 + t + 1
この2次関数を平方完成します。
y=−2(t2−12t)+1y = -2(t^2 - \frac{1}{2}t) + 1
y=−2(t−14)2+2(116)+1y = -2(t - \frac{1}{4})^2 + 2(\frac{1}{16}) + 1
y=−2(t−14)2+18+1y = -2(t - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8} + 1
y=−2(t−14)2+98y = -2(t - \frac{1}{4})^2 + \frac{9}{8}
yy は t=14t = \frac{1}{4} のとき最大値 98\frac{9}{8} をとります。これは−1≤t≤1-1 \le t \le 1 の範囲内なので、最大値は 98\frac{9}{8} です。
次に、最小値を考えます。t=−1t = -1 のとき、
y=−2(−1−14)2+98=−2(−54)2+98=−2(2516)+98=−258+98=−168=−2y = -2(-1 - \frac{1}{4})^2 + \frac{9}{8} = -2(\frac{-5}{4})^2 + \frac{9}{8} = -2(\frac{25}{16}) + \frac{9}{8} = -\frac{25}{8} + \frac{9}{8} = -\frac{16}{8} = -2
t=1t = 1 のとき、
y=−2(1−14)2+98=−2(34)2+98=−2(916)+98=−98+98=0y = -2(1 - \frac{1}{4})^2 + \frac{9}{8} = -2(\frac{3}{4})^2 + \frac{9}{8} = -2(\frac{9}{16}) + \frac{9}{8} = -\frac{9}{8} + \frac{9}{8} = 0
よって、t=−1t = -1 のとき最小値 −2-2 をとります。

3. 最終的な答え

最大値: 98\frac{9}{8}
最小値: −2-2

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