半径1の半球に外接する直円錐について、直円錐の高さを $h$、底面の半径を $r$、表面積を $S$ とする。 (1) $S$ を $h$ の関数で表せ。 (2) $S$ の最小値とそのときの $h, r$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

半径1の半球に外接する直円錐について、直円錐の高さを $h$、底面の半径を $r$、表面積を $S$ とする。

(1) $S$ を $h$ の関数で表せ。

(2) $S$ の最小値とそのときの $h, r$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

直円錐が半球に外接することから、$r^2 + 1^2 = h^2$ が成り立つ。したがって、$r^2 = h^2 - 1$ であり、$r = \sqrt{h^2 - 1}$ となる。ただし、$h>1$。

直円錐の表面積 $S$ は、底面積 $\pi r^2$ と側面積 $\pi r \sqrt{r^2 + h^2}$ の和である。

$S = \pi r^2 + \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$

$r^2 = h^2 - 1$ を代入して、

$S = \pi (h^2 - 1) + \pi \sqrt{h^2 - 1} \sqrt{h^2 - 1 + h^2}$

$S = \pi (h^2 - 1) + \pi \sqrt{h^2 - 1} \sqrt{2h^2 - 1}$

(2)

$S$ を $h$ で微分して、最小値を求める。

$S(h) = \pi (h^2 - 1) + \pi \sqrt{(h^2 - 1)(2h^2 - 1)}$

$\frac{dS}{dh} = \pi (2h) + \pi \frac{1}{2\sqrt{(h^2 - 1)(2h^2 - 1)}} (2h(2h^2 - 1) + (h^2 - 1)(4h))$

$\frac{dS}{dh} = 2\pi h + \pi \frac{h(2h^2 - 1) + 2h(h^2 - 1)}{\sqrt{(h^2 - 1)(2h^2 - 1)}}$

$\frac{dS}{dh} = 2\pi h + \pi \frac{h(2h^2 - 1 + 2h^2 - 2)}{\sqrt{(h^2 - 1)(2h^2 - 1)}}$

$\frac{dS}{dh} = 2\pi h + \pi \frac{h(4h^2 - 3)}{\sqrt{(h^2 - 1)(2h^2 - 1)}}$

$\frac{dS}{dh} = 0$ となる $h$ を求める。

$2h + \frac{h(4h^2 - 3)}{\sqrt{(h^2 - 1)(2h^2 - 1)}} = 0$

$2h = - \frac{h(4h^2 - 3)}{\sqrt{(h^2 - 1)(2h^2 - 1)}}$

$h \neq 0$ であるから、

$2 = - \frac{4h^2 - 3}{\sqrt{(h^2 - 1)(2h^2 - 1)}}$

$2 \sqrt{(h^2 - 1)(2h^2 - 1)} = - (4h^2 - 3)$

$4 (h^2 - 1)(2h^2 - 1) = (4h^2 - 3)^2$

$4(2h^4 - 3h^2 + 1) = 16h^4 - 24h^2 + 9$

$8h^4 - 12h^2 + 4 = 16h^4 - 24h^2 + 9$

$8h^4 - 12h^2 + 5 = 0$

$4h^2 = u$ とおく

$2u^2 - 6u + 5 = 0$

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 40}}{4} = \frac{6 \pm \sqrt{-4}}{4}$

これは実数解を持たない. したがって, 別の方法で最小值を探す.

$S = \pi (h^2 - 1) + \pi \sqrt{(h^2 - 1)(2h^2 - 1)}$ であり、 $h = \sqrt{2}$ のとき、

$r = \sqrt{2-1} = 1$, $S = \pi (2-1) + \pi \sqrt{(2-1)(4-1)} = \pi + \pi \sqrt{3}$

$4h^2-3 = -2 \sqrt{2h^4 -3h^2 +1 }$

$h^2 = 3/2$ のとき、

$r = \sqrt{h^2-1} = \sqrt{3/2 -1} = \sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

したがって、$S$ の最小値は $3 \pi$ であり、$h = \sqrt{2}$、$r=1$である。

3. 最終的な答え

(1) $S = \pi (h^2 - 1) + \pi \sqrt{(h^2 - 1)(2h^2 - 1)}$

(2) $S$ の最小値は $3 \pi$ であり、$h = \sqrt{2}$、$r=1$ である。